Manual de Física Estadística. Salvador Mafé Matoses

la integral (≡ àrea tancada sota la corba InN vs. N de la fig. 7).

      El resultat mostrat en l'eq. (4) es denomina aproximació de Stirling, i és molt emprada en Física Estadística. Un valor encara més exacte és [Kittel i Kroemer, A.l; Reif, A.6]

      La taula 3 mostra diversos valors de InN! calculats directament i mitjançant les aproximacions de les eqs. (4) i (5). La desviació (en %) fa referència a la diferència entre aquestes darreres equacions.

Taula 3

3. Probabilitat. Distribucions binòmia, de Gauss i de Poisson

3.1 Probabilitat

      Definim la probabilitat experimental o probabilitat a posteriori d'un succés com el límit, si n'hi ha, del quocient entre el nombre d'assaigs favorables al succés i el nombre total d'assaigs realitzats, quan aquest darrer tendeix a infinit. Aquest límit es calcula mitjançant una extrapolació dels resultats obtinguts, i un succés per al qual existeix el límit (és a dir, per al qual es pot definir una probabilitat a posteriori) es diu que és un succés aleatori, i el procés corresponent s'anomena procés aleatori. A cadascun dels successos d'un procés aleatori se li pot assignar un nombre u de manera que W(u) siga la probabilitat del succés. La variable u es coneix amb el nom genèric de variable aleatòria o estocàstica.

      Es suposen coneguts els conceptes elementals de la probabilitat [de la Rubia i Brey, cap.l; Stark i Woods, cap.l]. Per descriure una situació des del punt de vista estadístic, és a dir, en termes de probabilitats, cal considerar un conjunt o col·lectiu de N sistemes (N → ∞) preparats de manera semblant. Per exemple, és possible donar una descripció estadística del llançament d'un dau considerant que un gran nombre de daus semblants es llancen en circumstàncies similars. Alternativament, es pot també llançar el mateix dau un nombre N de vegades en circumstàncies semblants. La probabilitat d'un determinat succés es defineix com la fracció (nombre d'experiments en què es produeix aquest succés) / (nombre total d'experiments), de manera que la suma de probabilitats és igual a la unitat.

      En aquells casos en què no hi ha cap raó perquè determinat succés aleatori es presente amb major freqüència que la resta, és possible assignar una probabilitat a priori igual per a tots i cadascun dels successos possibles. Aquest seria el cas dels successos aleatoris cara/creu per a una moneda o dels successos possibles per a un dau no carregat.

3.2 Distribució binòmia

      Anem a analitzar detalladament molts dels conceptes probabilístics i estadístics que apareixeran durant el curs en un cas particular de gran importància en Física Estadística: el problema del camí aleatori [Reif, cap. 1 ; de la Rubia i Brey, cap. 1]. Aquest problema es pot formular de manera un tant col·loquial de la forma següent. Un borratxo parteix d'un fanal en un carrer seguint un moviment⁴ 1D. La condició d'intoxicació etílica es tradueix en el fet que cada pas a esquerra o dreta és independent del pas precedent. La probabilitat que el pas siga cap a la dreta és p, i que el pas ho siga cap a l'esquerra q, amb q = 1 - p. En general, p ≠ q (el carrer podria estar inclinat, p. ex.).

      Si es considera l'eix x al llarg del carrer amb l'origen x = 0 en la ubicació del fanal, la posició del borratxo després de N passos de longitud individual / és x = ml, amb m un nombre enter (positiu, negatiu o zero). La pregunta típica és en aquest cas: ¿quina és la probabilitat que el borratxo estiga just en determinada posició x? Per contestar-la, s'ha de considerar un gran nombre N de borratxos similars deambulant en carrers semblants, tot i que seria també possible repetir l'experiment N vegades amb la mateixa persona, si aquesta roman- guera en condicions d'intoxicació anàlogues. En el primer cas, la pregunta és, ¿quina serà la fracció de borratxos situats en x = ml, després de N passos? I per al segon seria: ¿quantes vegades (fracció del total) acabarà el contumaç individu en la posició x = ml després de N sèries de N passos cadascuna?

      La Física no es preocupa habitualment per l'esdevenir d'un borratxo, però el problema del camí aleatori apareix en situacions de gran interès com ara la difusió d'una molècula en un gas o la conformació d'una cadena polimèrica en una dissolució. A més a més, els sistemes amb dos estats de probabilitats p i q són molt habituals en magnetisme i física-química de superfícies, p. ex. A l'últim, el problema del camí aleatori permet una exposició elemental de molts conceptes estadístics, i per tant anem a tractar-ho detalladament a continuació per al cas més asèptic d'una partícula que segueix un moviment 1D.

      Pretenem calcular la probabilitat WN(m) de trobar la partícula en la posició x = ml, després d'una seqüència de N desplaçaments elementals (passos) dels quals n₁ són cap a la dreta i n₂ cap a l'esquerra, de manera que m = n₁ - n₂ i N = n₁ + n₂. Aquesta probabilitat és, tenint en compte la hipòtesi d'independència estadística per als passos,

      amb n2 = N - n₁. Notem que el primer factor dóna compte del fet que qualsevol seqüència de n₁ passos a la dreta i n₂ a l'esquerra mena a x = (n₁ - n₂)l, independentment de l'ordre en què aquests es realitzen.⁵ La funció de probabilitat de l'eq. (6) s'anomena distribució binòmia, i rep el seu nom de la condició de normalització

      En funció del desplaçament net m, l'eq. (6) es pot escriure com

      sent-hi (N + m) = 2n₁ i (N - m) = 2n₂ dos enters parells. Per aplicació de l'eq. (6) (o l'eq. 8) al cas N = 20 passos i p = q = 1/2 és immediat obtindré la probabilitat WN(n₁) de la fig. 8. La simetria de la distribució entorn del valor mitjà es perd si p ≠ q, és a dir, en el cas asimètric.

      Figura 8

      En general, coneguda una distribució de probabilitat P(ui) d'una variable aleatòria ui que pot prendre qualsevol dels M valors discrets u_l, u₂, …, uM, el valor mitjà de qualsevol funció f(u) és

      on hem fet servir la condició de normalització per a P(ui).

      Alguns dels valors mitjans més útils en Física Estadística són el valor mitjà de la variable u,

      i