Путешествие в квантовую механику. Гарри Дипрай

потенциальной энергии не такое редкое явление в расчётах. Например, по закону Кулона для энергий рассчитывают строение молекулярных структур. Структура стабильна при локально минимальной сумме энергий Σ_iΣ_j,j≠iU_ij всех кулоновских взаимодействий, описываемых тождеством:

      Волновая функция ψ – комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Сама волновая функция физического смысла не имеет, но физический смысл приписывается плотности вероятности.

      Как показывает практика общий подход к некоторым дифференциальным уравнениям с помощью метода, о котором пойдёт речь ниже, не так уж бесполезен на первый взгляд. Метод, приведённый в следующей главе данной книги, способен описать большинство явлений квантовой механики и дать объяснение редукции Фон Неймана (коллапса волновой функции).

      К аналитическому решению уравнения Шредингера в R^n

      В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения, не поддающиеся единственному аналитическому решению, проанализировать которые удалось автору этой книги. В качестве выбранного дифференциального уравнения разбирается уравнение Шредингера в декартовой системе координат, хотя метод и является вариационным, но он вполне бы себе мог подойти и для исследования других обыкновенных и в частных производных уравнений.

      Уравнение Шрёдингера

      Во второй главе было выведено уравнение Шредингера. Обобщим его, записав в следующей форме:

      Волновая функция ψ выражена семейством функций. Под Δ обозначают ∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²…, под ∂_t обозначают ∂/∂t, под a=ђ²/(2M). В дальнейшем в этой главе мы откажемся от многомерного случая и будем рассматривать только одномерный случай:

      Пример решения

      Выполним замены в уравнении Шредингера на следующий справедливые тождества (выбранное решение для волновой функции A и разложенные в ряд Фурье значения B,C):

      F(x) – произвольная дифференцируемая функция F(x)≠0 для всех x, принадлежащих (-R,R), если F(x)=0 в точке x возникнет неопределённость для уравнения Шредингера

      следовательно F(x) либо строго положительная, либо строго отрицательная функция, если F(x) принадлежит R. Если F(x)=const, тогда m – нечётное, В остальных случаях m принадлежит N.

      Подставим тождества в одномерное уравнение Шредингера, преобразовав его до вида:

      В выражении (4*) есть общие члены exp(iπmx/R)exp(iπnx/R). Необходимо их сократить, оставив в результате лишь коэффициенты тригонометрического ряда:

      Применим метод разделения переменных относительно ψ(t,n,m). Решив данную задачу, мы получим:

      Коэффициент C₀ определяется исходя из соотношений для вероятности

      .

      Так как область распределения волновой функции ограничивается на практике (-R,R), в некоторых теоретических случаях R=∞, тогда:

      Возможность заменить ∞ на R появляется в случае, когда значение C₀ не принципиально, поскольку, как мы убедимся в конце этой главы, коэффициент C₀ не будет влиять на выводы, сделанные при анализе решения