Путешествие в квантовую механику. Гарри Дипрай

подход для решения дифференциальных уравнений в частных производных, который содержит в себе аналитическое описание результата искомой функции и численный метод эволюции её во времени. Подобные численные методы уже существуют, но они чаще всего не являются по своей природе аналитическими, поэтому мне хочется обобщить предыдущие знания с помощью нового подхода.

      Интерполяция рядами Фурье

      Рассмотрим тригонометрический ряд Фурье в одномерном случае. Преобразуем его в качестве набора линейных функций, отображаемых на участке (kΔx, (k+1)Δx) вдоль оси x на отрезке (0,R), где Δx есть шаг между линейными комбинациями F_k, а k – это номер вычислительной операции, k принадлежит N, R – координата крайнего граничного условия, противоположно 0:

      Тригонометрический ряд для произвольной дифференцируемой кусочно-линейной функции F(x,y) на отрезках (kΔ x, (k+1)Δx) для x и (jΔy, (j+1)Δy) для y:

      Для трёхмерного случая x принадлежит (0,R_x), y принадлежит (0,R_y), z принадлежит (0,R_z), где: R_x,R_y,R_z – координаты граничных условий:

      Так для функций F(x,y,z), F(x,y), F(x) из выбранных систем координат на отрезках (hΔx_g, (h+1)Δx_g) где g – индекс координаты, а h – номер итерации, выстраивается произвольная кривая или поле дифференцируемых произвольных функций.

      Квазианалитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных

      Пусть Q принадлежит C, что является решением произвольного дифференциального уравнения в частных производных. Обозначим функции a,b, как вещественную и мнимую часть тождества Q=a+ib соответственно. Для примера квазианалитического метода выберем дифференциальное уравнение, численный метод которого состоит в использовании метода Эйлера. Заметим, что это не единственный применяемый способ решения, но в рамках данной книги остановимся на нём как на простом и более наглядном. Общий вид дифференциального уравнения в частных производных:

      ReD и ImD – вещественная и комплексная часть функции D.

      Выразим через ряд Фурье решение Q:

      Частные производные порядка s по координате x_i в D:

      Здесь n_i и R_i – коэффициенты при координате x_i.

      В случае расходимости ряда (3.2) применяется следующее преобразование:

      Поле для каждой точки ∂^sQ/∂x^s строится согласно уравнению (3.3). Затем выполним пересчёт для D (если D нелинейно) таким образом, что каждой выбранной точке в D ставится в соответствие отрезок (hΔx_g, (h+1)Δx_g) как предложено в разделе “Интерполяция рядами Фурье”:

      Рассмотрим частную производную решения по времени:

      Вместо Q₀ подставляется Q из тождества (3.1).

      a₁ и b₁ указывают на новую итерацию во времени Δt для решения дифференциального уравнения Q. Тогда:

      В этом тождестве имеется общий член exp(iπnx/R_x+iπmy/R_y+iπlz/R_z)/(R_xR_yR_z), его можно упустить, следовательно:

      Тогда для вещественной части:

      для мнимой части уравнения:

      В следующей итерации по времени в качестве решения Q подставляется тождество Q₁:

      Производится переход к уравнению (3.1), пока не будет достигнуто