Квадратные уравнения. Часть 1. Ирина Краева

второй степени неизвестного является общим для всех трёх уравнений. Но по двум другим признакам сравнения, квадратное уравнение отличается: в квадратном уравнении вторая степень неизвестной является наибольшей и неизвестная только одна.

      Именно это и важно!

      Собственно говоря, квадратным является целое рациональное (или по-другому – алгебраическое) уравнение второй степени с одним неизвестным2.

      Процесс ограничения класса алгебраических уравнений можно представить в двух направлениях:

      алгебраическое уравнение → первой степени, второй степени и так далее;

      алгебраическое уравнение → с одной неизвестной, с двумя неизвестными и так далее.

      Приведём примеры:

      ax + b = 0 – уравнение первой степени с одной неизвестной;

      ax + by + c = 0 – уравнение первой степени с двумя неизвестными;

      ax² + bx + c = 0 – уравнение второй степени с одной неизвестной;

      ax² + bxy + cy² + kx + ly + m = 0 – уравнение второй степени с двумя неизвестными.

      Тогда ближайшими родовыми понятиями для квадратного уравнения будут: алгебраическое уравнение второй степени или алгебраическое уравнение с одним неизвестным. Выбирая в качестве родового понятия разные объекты, мы сможем получить различные формулировки определения квадратного уравнения. Попробуйте!

      Наконец, рассмотрим правую часть равенства в определении квадратного уравнения. Она представляет собой конкретное число – ноль. А может быть что-нибудь другое?

      Если мы хотим видеть квадратное уравнение «в чистом виде», то ничего, кроме нуля, в правой части быть не должно. Но…

      Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = m, где m число отличное от нуля. Тогда мы, основываясь на равносильности преобразований уравнений3, можем записать

      ax² + bx + c – m = 0

      ax² + bx + (c – m) = 0

      ax² + bx + c₁ = 0.

      То есть мы, собственно, получили квадратное уравнение.

      Ещё пример:

      ax² + bx + c = mx + n

      ax² + bx + c — mx – n = 0

      ax² + bx – mx + c – n = 0

      ax² + (b – m) x + (c – n) = 0

      ax² + b₁ x + c₁ = 0.

      Таким образом, уравнения двух приведённых выше видов

      ax² + bx + c = m и ax² + bx + c = mx + n есть смысл назвать сводящимися к квадратным. То есть, если в правой части стоит многочлен с одной (той же, что и в левой части!) неизвестной степени не выше первой, то с помощью соответствующих преобразований квадратное уравнение мы получим без проблем.

      Если же в правой части будет стоять многочлен с одной неизвестной второй степени, то квадратное уравнение может и не получиться.

      Ситуация первая: ax² + bx + c =ay² + by + c.

      Как бы

2

Подробнее смотрите в приложении.

3

О равносильности опять же смотри приложение.