Путеводитель для влюбленных в математику. Эдвард Шейнерман

требующее доказательства, истинно. Путеводная путаница, софистика-эквилибристика!

      Есть и другой способ доказательства: создать некий механизм по производству простых чисел. Мы засыпаем в него пригоршню простых чисел и – вуаля! – оттуда высыпаются новые простые числа. Вот как работает эта машина.

      Зачерпнем полдюжины простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Перемножим их и приплюсуем единицу:

      (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1 = 30 031.

      Ясно, что 30 031 не делится на 2, – это легко заметить, потому что последняя цифра нечетная. На 3 оно тоже не делится (потому что на единицу больше, чем 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13, которое делится на 3). Точно так же оно не делится на 5, 7, 11 и 13. Стало быть, или это число само простое, или его можно разложить на простые множители, не входящие в наш перечень. Кости выпали так, что число 30 031 – составное. Оно раскладывается на простые множители следующим образом: 59 × 509. Этих чисел не было в нашем перечне.

      Возьмем их и предыдущие полудюжины чисел и построим новое число:

      (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 59 × 509) + 1,

      что равно 901 830 931. Кости выпали так, что число оказалось простым[23].

      Мы можем добавить его в наш перечень и наштамповать так еще много чисел – либо простых, либо разложимых на простые множители. Эта операция позволяет бесконечно получать все новые и новые простые числа.

Другое доказательство

      Это не единственное доказательства того, что простых чисел бесконечно много. Вот вам еще одно.

      Как и в первом доказательстве, предположим, что количество простых чисел конечно, и покажем, что это предположение ведет к противоречию. Представим, что самое большое простое число равно P, и составим перечень простых чисел:

      2, 3, 5, 7, 11, 13, …, P.

      Пусть N – результат перемножения всех этих чисел:

      N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P.

      Теперь давайте подумаем обо всех числах от 1 до N включительно. Каждое из них (за исключением 1) делится на одно или несколько простых чисел; иными словами, любое число (кроме 1) делится на какое-то простое число.

      Сколько чисел от 1 до N делится на 2? Очевидно, что половина (четные числа). Вычеркнем их и оставим лишь нечетные:

      1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, …

      Количество целых чисел между 1 и N, которые мы вычеркнули, равно N / 2.

      Вычеркнем из оставшихся чисел те, которые делятся на 3. Вот что получится:

      1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, …

      Мы удалили треть оставшихся чисел[24]. Осталось две трети, а от изначального количества –

      Продолжим в том же духе и вычеркнем числа, делящиеся на 5, удалив таким образом пятую часть оставшихся чисел. Получится

чисел. Вот что останется:

      1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, …

      Дальше мы вычеркиваем числа, делящиеся на 7, оставив шесть седьмых от нашего перечня, и будем двигаться по этому пути, пока не дойдем до числа P.

      В конце концов количество тех чисел, которые мы не вычеркнули, станет равно

      Так как все числа от 1 до N, кроме 1, делятся на какое-то простое число, выражение (C) должно быть равно

23

Есть изощренные методы, позволяющие установить, является число простым или составным. С их помощью можно легко решить эту задачу даже на домашнем компьютере.

24

Вообще говоря, это утверждение надо доказать. В частности, надо доказать, что удалена точно, а не приблизительно треть. – Прим. науч. ред.