Путеводитель для влюбленных в математику. Эдвард Шейнерман

и т. д.

      Множество всех натуральных и полученных при их вычитании отрицательных чисел вместе с нулем называют целыми числами. Математики используют стилизованную букву Z, чтобы обозначить все целые числа:

      ℤ = {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}.

      Когда мы делим целые числа друг на друга, возникает загвоздка. В то время как мы можем складывать, перемножать целые числа и вычитать их друг из друга в полной уверенности, что получим целое число, результат деления одного целого числа на другое иногда оказывается целым числом, а иногда и нет.

      Возьмем два положительных целых числа а и b. Мы говорим, что а делится на b, если частное a / b – тоже целое число. Мы называем a – делимым, b – делителем.

      Например, 24 делится на 6 (потому что частное от деления – целое число), но не на 7 (потому что частное не является целым числом). Всякое положительное целое число делится само на себя: если а – положительное целое число, то частное от а / а равно 1, и это, разумеется, целое число. Также всякое положительное целое число делится на 1, потому что, если а – положительное целое число, результат деления а / 1 равен а.

      Положительное целое число называется простым, если у него есть ровно два делителя: 1 и оно само.

      Например, 17 – простое число, потому что 1 и 17 – его единственные делители. По той же причине 2 – простое число.

      С другой стороны, 18 не является простым числом, потому что помимо 1 и самого себя оно делится на 2, 3, 6 и 9. Такие числа, как 18, называют составными. Если говорить математическим языком, то положительное целое число называют составным, если у него есть другие делители помимо 1 и самого себя.

      Размежевание чисел на простые и составные касается всех натуральных чисел, кроме 1. Мы выделяем 1 в отдельную категорию и называем единичным элементом, или единицей[15]. Кого-то расстраивает тот факт, что Плутон больше не причисляют к планетам, другие раздражены тем, что 1 не считается простым числом.

      Если подытожить, у нас есть три категории положительных целых чисел:

      • единица с одним положительным делителем;

      • простое число с двумя положительными делителями;

      • составное число с тремя и более положительными делителями.

      Отмечу, что 1 – единственное в своем роде число, а вот составных чисел бесконечно много: 4, 6, 8, 10, 12 и т. д. – составные числа (и таких еще много).

      Но сколько же простых чисел существует?

Разложение на множители

      Разложить число на множители означает представить его в виде произведения. Рассмотрим число 84. Мы можем разложить его на множители несколькими способами, например:

      2 × 42; 3 × 28; 12 × 7; 2 × 6 × 7; 21 × 4.

      В пределе разложить на множители означает найти произведение простых чисел, например: 84 = 2 × 2 × 3 × 7. Нельзя разбить эти множители на части, потому что каждый из них представляет собой простое число. Разумеется, мы можем добавить какое-то количество единиц, например:

      84 = 1 × 1 × 2 × 2 × 3 × 7,

      но дополнительные множители усложняют, а не упрощают выражение, другие множители от

15

Немного странно изобретать отдельное название для категории чисел, куда входит всего один элемент. На самом деле термин «единичный элемент», или «единица», имеет более широкое значение в сложных областях математики, но в применении к целым числам дает одно-единственное число: 1.