Нейронный сети. Эволюция. Каниа Алексеевич Кан

приращение функции – это аналог пути ∆s, пройденного за время ∆t.

      Если представить, что ∆х – бесконечно мала, т.е. стремиться к нулю (∆х-›0), то выражение нахождения изменения скорости можно записать как:

      Или исходя из геометрического представления, описанного ранее:

      Отсюда вывод, что производная функции f(x) в точке х – это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.

      Нахождение некоторых табличных производных

      Решим найденным способом, наш первый пример, когда скорость автомобиля была постоянной, на всем промежутке времени. В этом примере, приращение функции равно нулю (∆s = 0), и соответственно тангенса угла не существует:

      ∆s = s(t+∆t) – s(t) = s(t) – s(t) = 0

      Итак, имеем первый результат – производная константы равна нулю. Этот результат мы уже выводили ранее:

      Откуда можно сформулировать правило, что производная константы, равна нулю.

      s(t) = с, где с – константа

      с′ = 0

      Запись с′ – означает что берется производная по функции.

      Во второй примере, когда изменение скорости автомобиля проходило линейно, с постоянным изменением, найти производную функции (s = 0,2t + 1,5), не зная правил дифференцирования сложных функций, мы пока не сможем, поэтому отложим этот пример на потом.

      Продолжим с решения третьего примера, когда изменение скорости автомобиля проходило не линейно:

      s = t²

      Приращение функции и производная:

      s(t) = t²

      ∆s = s(t+∆t) – s(t) = (t+∆t) ² – t² = t² + 2t∆t + ∆t² – t² = ∆t(2t+∆t)

      Вот мы и решили наш третий пример! Нашли формулу точного изменения скорость от времени. Вычислим производную, в всё той же точки t = 3.

      s(t) = t²

      s′(t) = 2*3 = 6

      Точный ответ, в пределах небольшой погрешности, почти сошелся с вычисленном до этого приближенным ответом.

      Попробуем усложнить пример. Предположим, что скорость движения автомобиля описывается кубической функцией времени:

      s(t) = t³

      Приращение и производная:

      s(t) = t³

      ∆s = s(t+∆t) – s(t) = t³ + 3 t²∆t+ 3t∆ t² + ∆ t³ – t³ = ∆t(3 t² + 3t∆t + ∆t²)

      Из двух последних примеров (с производными функций s(t) = t² и s(t) = t³) следует, что показатель степени числа, становится его произведением, а степень уменьшается на единицу:

      s(t) = tⁿ

      А чему равна производная от аргумента функции? Давайте узнаем…

      s(t) = t

      Приращение:

      ∆s = s(t+∆t) – s(t) = t + ∆t – t = ∆t

      Производная: