Человеческие сети. Как социальное положение влияет на наши возможности, взгляды и поведение. Мэтью О. Джексон

чем непосредственному другу. У Нэнси одиннадцать друзей второй степени, поэтому присваиваем ей 11/2 баллов, учитывая количество друзей ее друзей. А у Уоррена имеется только один друг второй степени, поэтому он получает 1/2. Итак, у Нэнси пока что 7,5 балла, если считать ее друзей первой и второй степени, а у Уоррена – только 2,5. Далее мы переходим к подсчету друзей третьей степени: у Нэнси их трое, а у Уоррена – двое. Опять-таки присвоим новым друзьям значение вдвое меньшее по сравнению с предыдущим уровнем, то есть по 1/4. Таким образом, к уже набранным очкам Нэнси прибавится еще 3/4, а к прежним очкам Уоррена – 2/4, после чего общее число баллов у Нэнси уже достигло 8,25, а у Уоррена оно выросло до трех. Продолжая подсчет таким способом, мы сможем количественно оценить, насколько охват людей в сети у Нэнси больше, чем у Уоррена.

      Относительное сравнение Нэнси с Уорреном позволяет разрешить и другой вопрос. Давайте условимся, что центральность каждого из них пропорциональна сумме центральностей их друзей. Этот подсчет будет подобен тому, что уже проделан нами ранее. Тем самым Нэнси получит некоторую долю очков Эллы и Майлса – из-за того, что будет учтена некоторая доля очков их друзей, и так далее. Эти повторные операции будут подобными, потому что Элла и Майлс получают очки от своих друзей, которые приходятся друзьями второй степени Нэнси, а те очки получены от их друзей, которые приходятся Нэнси друзьями третьей степени, и так далее{26}.

      По счастью, система уравнений такого типа – когда центральность каждого человека пропорциональна сумме центральностей его друзей – вполне естественная и легкорешаемая математическая задача. Она появилась благодаря ряду научных работ известнейших математиков, живших с XVIII по ХХ век: это Эйлер, Лагранж, Коши, Фурье, Лаплас, Вейерштрасс, Шварц, Пуанкаре, фон Мизес и Гилберт. Гилберт назвал решения подобных задач “айген-векторами”, или “собственными векторами”, и это общепринятое современное название. Неудивительно, что собственные вектора фигурируют во всевозможных областях, от квантовой механики (уравнение Шрёдингера) до алгоритма eigenface, содержащего основные строительные блоки для программ распознавания лиц. Решая задачу собственного вектора в нашем примере, мы приходим к ответу: количество баллов у Нэнси приблизительно в 3 раза больше, чем у Уоррена, что мы и видим на рисунке 2.6{27}.

      Рис. 2.6. Центральности по собственному вектору для каждого узла (человека). У Нэнси почти в 3 раза больше баллов, чем у Уоррена, хотя у обоих имеется одинаковое количество связей. Больше всего баллов у Майлса, хотя у Эллы наибольшая центральность по степени.

      Инновация Брина и Пейджа заключалась в том, чтобы выстраивать веб-страницы согласно алгоритму, который они назвали PageRank. Он имеет прямое отношение к тому, что мы описали выше, и к вычислению собственного вектора. Правда, Брин и Пейдж не собирались распространять слухи по сети, но перед ними стояла сходная итеративная задача – так называемая задача случайного

26

Есть и легкое различие – в том, что теперь мы иногда ведем двойной счет: ведь одним из семи друзей Эллы является Нэнси, а значит, мы и саму Нэнси причисляем к друзьям второй степени. На самом деле, такой двойной счет немного облегчает арифметику, так как на каждом этапе нам нужно лишь установить количество связей, но не нужно вспоминать, кого мы уже считали, а кого нет. Влияние двойного счета обсуждается в работе Banerjee, Chandrasekhar, Duflo, and Jackson (2013, 2015).

27

Если вам интересны подробности показателей на рисунке 2.6, то квадраты показателей центральности в сумме дают единицу, так что вектор показателей центральности нормализован в обычном математическом смысле (в соответствии с L2 или с евклидовой нормой).