Живая математика. Занимательные задачи для любознательных умов. Яков Перельман

5 кружков.

      Хлопотливее найти ответ на второй вопрос задачи: сколько будет вечеров, свободных от кружковых занятий? Чтобы разыскать такие дни, надо выписать по порядку все числа от 1 до 90 и зачеркнуть в этом ряду дни работы политкружка, то есть числа 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Потом зачеркнуть дни работы военного кружка: 4-й, 10-й и т. д. После того как зачеркнём затем дни занятий фотокружка, шахматного и хорового, у нас останутся незачёркнутыми те дни первого квартала, когда ни один кружок не работал.

      Кто проделает эту работу, тот убедится, что вечеров, свободных от занятий, в течение первого квартала будет довольно много: 24. В январе их 8, а именно: 2-го, 8-го, 12-го, 14-го, 18-го, 20-го, 24-го и 30-го. В феврале насчитывается 7 таких дней, в марте – 9.

      4. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, зато тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.

      5. С первого взгляда может действительно показаться, что задача неправильно составлена: выходит как будто, что внук и дед одного возраста. Однако требование задачи, как сейчас увидим, легко удовлетворяется.

      Внук, очевидно, родился в XX столетии. Первые две цифры года его рождения, следовательно, 19: таково число сотен. Число, выражаемое остальными цифрами, будучи сложено с самим собою, должно составить 32. Значит, это число 16: год рождения внука 1916, и ему в 1932 году было 16 лет.

      Дед его родился, конечно, в XIX столетии; первые две цифры года его рождения 18. Удвоенное число, выражаемое остальными цифрами, должно составить 132. Значит, само это число равно половине 132, то есть 66. Дед родился в 1866 году, и ему в 1932 году было 66 лет.

      Таким образом, и внуку, и деду в 1932 году было столько лет, сколько выражают последние две цифры годов их рождения.

      6. На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, то есть на 24 пункта. Значит, разных билетов надо напечатать 25 × 24 = 600 образцов.

      7. Задача эта никакого противоречия не содержит. Не следует думать, что дирижабль летел по контуру квадрата: надо принять в расчёт шарообразную форму Земли. Дело в том, что меридианы к северу сближаются (рис. 6); поэтому, пройдя 500 км по параллельному кругу, расположенному на 500 км севернее широты Ленинграда, дирижабль отошёл к востоку на большее число градусов, чем пролетел потом в обратном направлении, очутившись снова на широте Ленинграда. В результате дирижабль, закончив полёт, оказался восточнее Ленинграда.

      Рис. 6

      На сколько именно? Это можно рассчитать. На рис. 6 вы видите маршрут дирижабля: АВСВЕ. Точка N — Северный полюс; в этой точке сходятся меридианы АВ и ВС. Дирижабль пролетел сначала 500 км на север, то есть по меридиану АN Так как длина градуса меридиана 111 км, то дуга меридиана в 500 км содержит 500: 111 = 4°,5. Ленинград лежит на 60-й параллели; значит, точка В находится на 60° + 4°,5 = 64°,5. Затем дирижабль летел к востоку, то есть по параллели ВС, и прошёл по ней 500 км. Длину одного градуса на этой параллели можно вычислить (или узнать из таблиц); она равна 48 км. Отсюда легко определить, сколько градусов пролетел дирижабль на восток: