Настольная игра «Футбол на бумаге». Виталий Аркадьевич Морозков

пересечения в начале партии являются пустыми и по ходу игры «превращаются» в занятые. Это происходит следующим образом: одна из сторон занимает полевое пересечение и в нём «останавливается», затем другая сторона ходит из этого пересечения. Т.о. от полевого пересечения будут отходить шесть незанятых граней (рис. 16):

      При дальнейшей игре, заняв полевое пересечение, нужно от него «оттолкнуться», т.е. каждый раз будут заниматься две грани: 6:2=2×3

      Т.е. после трёх прохождений через полевое пересечение ты займёшь все грани и дальнейший проход в такое пересечение невозможен. То есть, в полевом пересечении нельзя попасть в тупик, оно является чётным.

      5, 6 – околоворотные пересечения (c2; c10; e2; e10; d2; d10):

      Часть рёбер, исходящих от данных пересечений, соединена с воротными пересечениями, т.е. с пересечениями, заняв которые одной из сторон автоматически засчитывается поражение. Таким образом, условие тупиковости (нечётности) для околоворотных пересечений не может быть выполнено и они являются чётными.

      Если бы в ФУТБОЛЕ НА БУМАГЕ отсутствовало правило гола – то 6 пересечения (c2;c10;e2;e10) превратились бы в тупиковые (поскольку от них отходят пять незанятых граней), а 5 пересечения (d2;d10) остались бы также чётными и были бы простыми полевыми пересечениями.

      Теперь давай представим результаты в графическом виде (нечётные и воротные пересечения изображены красным цветом, чётные – чёрным):

      Таким образом, если партия ведётся строго по правилам и доигрывается до победного конца – последним занимается одно из красных пересечений.

      6). Следствие нечётности пересечений:

      а). Введём определение изолированной группы:

      изолированная группа – это конструкция, при которой проход к обоим воротам полностью перекрыт. Пример изолированной группы показан на рисунке 17.

      б). Внутри изолированной группы всегда есть хотя бы одно нечётное пересечение. Это вполне очевидно – ведь если проход к обоим воротам полностью перекрыт, то в итоге одна из сторон попадёт в тупик, т.е. займёт тупиковое (нечётное) пересечение.

      В примере представленном на рисунке 17 таким пересечением является центр.

      Дано: симметричное футбольное поле произвольного размера

      Доказать: на данном поле нельзя построить конструкцию следующего вида:

      Доказательство: допустим, что такую конструкцию можно построить, тогда внутри неё должно быть хотя бы одно нечётное пересечение, но таких пересечений внутри данной конструкции нет, а есть только полевые пересечения, которые являются чётными, в чётном пересечении нельзя попасть в тупик. Мы пришли к противоречию – следовательно, такую конструкцию нельзя построить, если строго соблюдать правила ФУТБОЛА