Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие. Александр Анатольевич Казанский

диаграммы Венна

      Аргументация в логике представляет собой полное или частичное обоснование какого-либо утверждения (заключения) с помощью других утверждений (посылок). Под выводом понимается утверждение того, что заключение следует из посылок. Вывод называется правильным тогда и только тогда, когда из конъюнкции посылок следует заключение, т. е. во всех случаях, когда посылки истинны, заключение тоже является истинным. Поскольку словесные утверждения по существу являются утверждениями о множествах, то поэтому их можно описывать диаграммами Венна.

      Следовательно, диаграммы Венна можно использовать для проверки правильности выводов.

      Пример 1.3

      Показать, что следующий аргумент правильный:

      A: Компьютеры, которые установлены на кафедре программирования, имеют LCD-дисплеи.

      B: Компьютеры университета, которые используются в учебном процессе, соединены с Интернетом.

      C: Ни один компьютер кафедры программирования не соединен с Интернетом.

      D: Все компьютеры, которые используются в учебном процессе, не имеют LCD-дисплеев.

      Здесь утверждения А, В и С означают посылки, а утверждение D ниже линии означает заключение. Вывод правильный, если заключение D логически следует из утверждений А, В и С.

      Из утверждения А компьютеры с LCD-дисплеями входят в множество компьютеров университета, а из утверждения С следует, что множество компьютеров кафедры программирования и множество компьютеров, которые соединены с Интернетом, не пересекаются.

      Из утверждения В следует, что компьютеры, которые используются в учебном процессе, образуют подмножество компьютеров, которые соединены с Интернетом, как это показано на рис. 1.2.

      Рис. 1.2

      Вывод является правильным, что видно из диаграммы Венна, поскольку множество компьютеров, используемых в учебном процессе, не пересекаются с множеством компьютеров с LCD-дисплеями.

      Необходимо заметить, что, поскольку речь идет о проверке правильности вывода, истинность заключения при этом не рассматривается. Истинность заключения не является ни необходимым, ни достаточным условием правильности вывода. Если все посылки истинны, то заключение истинно. Но если хотя бы одна из посылок ложна, то заключение может быть как истинным, так и ложным, т. е. правильность вывода зависит от того, что представляют собой его посылки, и фактически определяется только его формой.

      1.5. Операции над множествами

      Операции над множествами позволяют получать из исходных множеств новые множества. При этом предполагается, что и сами исходные множества, и вновь полученное множество являются подмножествами одного и того же универсального множества.

      Операция объединения множеств

      Объединением двух множеств А и В (обозначается A ∪ B) называется множество всех элементов, которые принадлежат к А или к В, т. е.

      A ∪ B = { x: x ∈ A или x ∈ B }.

      Здесь союз «или» используется в смысле и/или. На рис. 1.3 объединение A ∪ B представлено на диаграммах Венна заштрихованной областью.