Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие. Александр Анатольевич Казанский

целями конкретной задачи. Если надо найти некоторое множество точек на плоскости, то универсальным множеством будет множество всех точек плоскости. Универсальное множество обычно обозначается символом U.

      Множество, в котором нет ни одного элемента, называется пустым или несуществующим множеством и обозначается Ø.

      Для любого элемента x можно сказать, что пустое множество обладает свойством x ∉ Ø. Пустое множество может возникнуть при задании множества U и некоторого свойства A – такого, что в U нет ни одного элемента со свойством A, например множество М = {x: x – натуральное число, для которого ex < 2x} не имеет ни одного элемента, т. е. является пустым. Имеется только одно пустое множество, и если М и S пустые множества, то М = S, поскольку они состоят из одних и тех же элементов, а именно из никаких элементов.

      1.3. Подмножества

      Выбирая из множества М какие-либо элементы, можно получить новое множество S, которое будет частью множества М или, как еще говорят, подмножеством множества М. Иначе говоря, множество М является подмножеством множества М, если каждый элемент S является также и элементом М. Это отношение записывается так:

      S ⊆ M или M ⊇ S,

      что иногда читают, как Sсодержится в М или МсодержитS.

      Обычно принято считать, что часть «меньше» целого, однако в теории множеств это не так, поскольку каждое множество является подмножеством самого себя, т. е. M ⊆ M. Это свойство называют рефлексивностью.

      Пример 1.2

      (а) Рассмотрим множества:

      Х = {1, 2, 3, 4, 7, 8}, Y = {2, 3, 8, 9}, Z = {2, 8}.

      Здесь Z ⊆ X и Z ⊆ Y, но Y не является подмножеством Х, поскольку имеет элемент 9, которого нет в множестве Х. Кроме того, поскольку эти множества определяют одну и ту же задачу, то все они должны принадлежать к универсальному множеству U и это множество U должно содержать по крайней мере следующие элементы {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}.

      (в) Пусть N, Z, Q, R – множества, о которых упоминалось выше. Тогда

      N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.

      (с) Каждое множество Х является подмножеством универсального множества U, поэтому по определению все элементы Х принадлежат U. Пустое множество Ø также является подмножеством Х.

      (d) Если каждый элемент А принадлежит множеству В, а каждый элемент В принадлежит множеству С, тогда каждый элемент А принадлежит С, т. е. если A ⊆ B и B ⊆ C, тогда A ⊆ C.

      (e) Если A ⊆ B и B ⊆ A, тогда А и В имеют те же самые элементы и А = В. Обратно, если А = В, тогда A ⊆ B и B ⊆ A, так как каждое множество является подмножеством самого себя.

      Формально последние три примера можно записать следующим образом:

      1) для любого множества А всегда Ø ⊆ A ⊆ U;

      2) для любого множества А выполняется A ⊆ A;

      3) если A ⊆ B и B ⊆ C, тогда A ⊆ C;

      4) A = B, только если A ⊆ B и B ⊆ A.

      Если A ⊆ B и A = B, то A называют несобственным подмножествомB. Когда A ⊆ B и A≠B, т. е. в B содержится по крайней мере один элемент, которого нет в A, то A называют собственным