Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера. Николай Иванович Конон

3.…. n, получаем количество пар a и b равное n. Так как указанные пары удовлетворяют свойствам 1) – 8), следует, что они симметричны, а это и доказывает лемму.

      В результате, выше определено понятие симметричных пар и их шаг симметрии, которые представляют особый интерес исследования настоящей работы.

      2. Исследование множеств симметричных пар

      Рассмотрим множество C симметричных пар числа n, такое что,

      C = {a_n,…a_i,…a₃, a₂, a₁, b₁, b₂, b₃,… b_i…b_n }, (2.1)

      где a_i, b_i. – симметричные пары, удовлетворяющие свойствам 1) – 8).

      Для примера рассмотрим число 10. Тогда множество C симметричных пар числа 10 будет C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

      Представим множество симметричных пар C в виде двух других множеств A и B, которые состоят из множества

      A = {a₁, a₂, a₃,…a_n } и множества B = {b₁, b₂, b₃,…b_n }. (2.2)

      Очевидно C = A U B.

      Для нашего примера эти множества будут

      A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

      Парные элементы приведенных множеств также удовлетворяют свойствам 1) – 8). Очевидно, что мощности обоих множеств |A| и |B| одинаковы и равны n.

      Следует заметить, что эти множества взаимосвязаны, при чем, элементы в указанных множествах имеют взаимно однозначное соответствие одного множества к другому, и они в совокупности составляют симметричные пары (a_i, b_i).

      Действительно, имеем a₁ = n–1, a₂ = n – 2, a₃ = n – 3, …a_i = n – i, …….. a_n-3 = 3, a_n-2 = 2, a_n-1 = 1, a_n = 0, и b₁ = n + 1, b₂ = n + 2, b₃ = n + 3, …….. b_i = n + i,……. b_n-1 = n + n – 1, b_n = n + n, то есть, такое взаимное соответствие можно выразить следующей зависимостью

      a_i = n – i, b_i = n + i, (2.3)

      где i = 1,2,3, …….n.

      Следовательно, для симметричных пар выражение (1.5) поэлементного соответствия будет выглядеть

      a_i + b_i = 2n и b_i – a_i= 2i, (2.4)

      где i = 1,2,3, …….n.

      Отсюда видим, что шаг симметрии равен номеру симметричной пары, т.е. δ=i.

      Анализируя выражения (2.3) и (2.4), можно видеть, что множества A и B в свою очередь состоят из подмножеств нечетных и четных чисел, т.е. можно записать

      A = nch_A U ch_A;

      B = nch_B U ch_B, (2.5)

      где nch_A и ch_A – подмножества нечетных и четных чисел множества A;

      nch_B и ch_B – подмножества нечетных и четных чисел множества B.

      Для указанного выше примера, имеем

      nch_A= {1, 3, 5, 7, 9} и ch_A= {0, 2, 4, 6, 8}.

      nch_B= {11, 13, 15, 17, 19} и ch_B= {12, 14, 16, 18, 20}.

      Очевидно, и это не требует доказательств, что мощности подмножеств |nch_A| и |ch_A| одинаковы, т.е. равны. Также можно сказать и о подмножествах |nch_B| и |ch_B|, мощности которых также равны между собой.

      Легко видеть, что мощности четных подмножеств |ch_A| и |ch_B| равны друг другу, и мощности для нечетных подмножеств |nch_A| и |nch_B| также равны друг другу, при этом само число n, являющееся центром симметрии, и ни в какие множества не входит.

      Таким образом, можно записать следующие тождества:

      |ch_A| = |ch_B|;

      |nch_A| = |nch_B|;

      |ch_A|