Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера. Николай Иванович Конон

стояние от указанного числа. Данное очевидное утверждение исходит из самой природы ряда натуральных чисел, заключающееся в том, что каждое следующее число ряда формируется путем прибавления единицы к текущему числу. Таким образом, уже число 2 имеет пару чисел в составе 1 и 3, отстоящих от числа 2 влево и право ровно на единицу. А далее с увеличением самого числа, оно будет иметь хотя бы одну пару чисел, отстоящих от него на единицу. Указанное свойство и будет исследоваться в настоящей работе с целью использования при рассмотрении сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера [1].

      1. Симметричные пары чисел ряда натуральных чисел

      Рассмотрим множество целых неотрицательных чисел, таких, которые включают целые положительные числа из ряда натуральных чисел и добавленное в данное множество число ноль, т.е. N⁺₀ = N⁺U {0} [1].

      Исследуем числовую ось натурального ряда N⁺₀ (рис. 1)

      N⁺₀ = {0 1 2 3 4 5 6 7 8 …….…a……..n……..b ………………… k–1 …k}

      Рис. 1

      Выделим для любого числа n, начинающегося с числа 1 пару чисел a и b (см. рис. 1), при чем, пара чисел a и b соответствуют условию, a < b, такое, что выполняется следующее равенство:

      n – a = b – n. (1.1)

      Назовем указанную пару чисел a и b, отвечающую условию (1.1), симметричной парой любого натурального числа n.

      Дальнейшие исследования ряда натуральных чисел N⁺₀ показывает, что указанная пара чисел a и b под условием равенства (1.1) обладает интересными и важными свойствами, а именно:

      1) Числа a и b равноудалены от числа n слева и справа на числовое расстояние δ.

      2) Числовое расстояние δ, на которое равноудалены числа a и b от числа n равно:

      δ = n – a = b – n. (1.2)

      3) Из выражения (1.2) получаем:

      a = n – δ; b = n + δ. (1.3)

      4) При этом из выражения (1.2) также имеем:

      n = a + δ = b – δ. (1.4)

      5) Из выражения (1.3) следует, что сумма симметричной пары чисел a и b является четным числом и равна

      a + b = 2n. (1.5)

      6) Из выражения (1.3) также следует, что разность пары чисел a и b также является четным числом и равна

      b – a = 2δ. (1.6)

      Назовем эту разность (1.6) размахом симметричной пары.

      7) Из выражения (1.6) вытекает

      δ =(b – a)/2. (1.7)

      8) Можно утверждать, и это очевидно, что количество симметричных пар a и b на числовой оси равно значению n.

      Важно исследовать следующий вопрос, в каких пределах изменяется числовое расстояние δ.

      Для этого обратимся к числовой оси (рис.1) и построим таблицу 1 множеств симметричных пар при разных значениях n.

      Таблица 1

      Число n

      Симметричная пара чисел {(a, b)} числа n

      Числовое расстояние δ

      1

      {(0,2)}

      1

      2

      {(1,3),(0,4)}

      1,2

      3

      {(2,4),(1,5),(0,6)}

      1,2,3

      4

      {(3,5),(2,6),(1,7),(0,8)}

      1,2,3,4

      .

      ……………….

      ………

      n

      {(n–1, n+1), (n–2, n+2),…… (1, n+n-1), (0, n+n)}

      1,2,3,.…n–1,n

      где a и b – симметричные пары для числа n.

      Очевидно, и исходя из свойств натуральных чисел, что числовое расстояние δ, равное половине размаха симметричной пары (см. 1.7), изменяется от 1 до n, и по значению не больше самого числа n.

      Назовем числовое расстояние δ шагом симметричной пары (шагом симметрии), который меняется

      δ = (1,2,3,……… n). (1.8)

      Из свойства 6 и выражения (1.6), очевидно, что размах симметричной пары равен удвоенному значению шага симметрии.

      Исходя из данного определения и исследованных выше свойств симметричных пар, сформулируем следующую лемму.

      Лемма 1: Любое натуральное число n, начиная с числа 1, имеет симметричные пары в количестве, равном самому значению натурального числа.

      Доказательство. Из свойств натуральных чисел N⁺₀ известно, что они являются арифметической прогрессией, такой при которой любое