Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин

указанной в задаче 1.1.3 а), сколько времени должно пройти, прежде чем популяция превысит 10, превысит 100 и превысит 1 000? Используйте MATLAB, чтобы вычислить это экспериментальным путём, а затем вычислите аналитически, используя логарифмирование и тот факт, что

. Обнаруживается ли закономерность в изменениях вычисленной продолжительности? Объясните, когда и почему значение стабилизируется.

      1.1.6. Если бы данные в таблице 1.2 о численности докторов физико-математических наук были собраны по десятилетиям с момента основания института математики, соответствовали бы они геометрической модели? Будет ли численность соответствовать геометрической модели хотя бы в некотором временном интервале? Объясните наблюдаемое явление.

      Таблица 1.2. Численность учёных в стране (сотни)

      0 1             2             3             4             5             6             7             8             9             10

                 1,94       3,04       4,62       6,72       9,26       11,88     14,08     15,52     16,26     16,60     16,72

      1.1.7. Заполните пропуски:

      а. Модели

 и

 представляют растущие значения, когда

 – любое число в диапазоне _______, а

 – любое число в диапазоне _______.

      б. Модели

 и

 представляют уменьшающиеся значения, когда

 – любое число в диапазоне _______, а

 – любое число в диапазоне _______.

      в. Модели

 и

 представляют стабильные значения, когда

 – любое число в диапазоне _______ и когда

 – любое число в диапазоне _______.

      1.1.8. Объясните, почему модель

 не может иметь смысла для описания численности популяции, когда

.

      1.1.9. Предположим, что популяция описывается моделью

 и

. Найдите

 для

.

      1.1.10. Говорят, что модель имеет устойчивое состояние или точку равновесия при

 если всякий раз, когда

, имеем

.

      а. Перефразируйте определение следующим образом: модель имеет устойчивое состояние при

 если всякий раз, когда

, имеем

 .

      б. Перефразируйте определение неформально: модель имеет устойчивое состояние

, если ___.

      в. Может ли модель, описываемая равенством

 иметь устойчивое состояние? Объясните почему.

      1.1.11. Объясните, почему модель

 приводит к формуле

.

      1.1.12. Предположим, что на численность определенного населения влияют только рождение, смерть, иммиграция и эмиграция, каждая из которых происходит ежегодно в размере, прямо пропорциональном численности населения. То есть, если население составляет

, то в течение периода времени в 1 год число рождений составляет

, число смертей

, число иммигрантов равно

, а число эмигрантов равно

, для некоторых

,

,

 и

. Покажите, что популяция все еще может быть смоделирована равенством

 и