Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

Das ist nichts anderes als die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt .

      Wenn die Tangente in einer Umgebung von eine gute Approximation an die Funktion sein soll, muss

      mit gelten, der Fehler muss gegen null gehen, wenn Sie mit gegen den Punkt wandern.

      Diese geometrische Interpretation der Ableitung funktioniert analog zum eindimensionalen Fall auch in mehrdimensionalen Situationen. Abhängig von den beteiligten Dimensionen ist dies allerdings nicht immer durch eine Graphik anschaulich darzustellen. Für eine Funktion funktioniert das aber noch. Hier entspricht die Tangentialebene an den Graphen von an der Stelle

der Tangente im Eindimensionalen. Vorsicht: Die Jacobi-Matrix ist in diesem Fall ein Zeilenvektor. Abbildung 2.5 zeigt eine solche Tangentialebene für eine reellwertige Abbildung von zwei Variablen.

      Prinzipiell können Sie das natürlich genauso für reellwertige Abbildungen von Variablen machen, nur die graphische Darstellung funktioniert dabei nicht mehr. Sie erhalten damit einen Spezialfall der am Anfang dieses Abschnitts genannten Eigenschaften differenzierbarer Funktionen.

Abbildung 2.5: Die Tangentialebene

zum Graphen von

an der Stelle

Eine reellwertige Funktion von Variablen ist in total differenzierbar, wenn es reelle Zahlen , Funktionen und eine Umgebung von gibt, sodass für alle

      und

      gilt.

      Für differenzierbare reellwertige Funktionen von Variablen gilt näherungsweise:

      Wenn Sie , und als Spaltenvektoren interpretieren, erhalten Sie die relativ einprägsame Regel:

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