Matemática aplicada a los negocios. Victor Cabanillas Zanini

Resolver situaciones reales usando modelos matemáticos.

      ✓ Formular modelos matemáticos para la descripción de situaciones reales.

1.1. Introducción

      Muchas situaciones de la vida real obedecen a ciertas reglas, dependen de una o más cantidades y pueden ser modeladas por funciones. Por ejemplo, el área de un círculo o el volumen de una esfera dependen de la longitud de su radio; la producción de una fábrica depende del número de trabajadores; el costo de un producto puede variar con el paso del tiempo, etcétera.

      Figura 1.1

      En este capítulo, haremos una revisión de las funciones elementales que se estudiaron en el curso Matemática Básica y mostraremos varias situaciones relacionadas con los negocios que pueden ser descritas por medio de funciones (modelos mate-máticos).

      Recordemos que una función real de variable real es una correspondencia que asocia a cada elemento x de un conjunto A ⊆ un único elemento f (x) en un conjunto B ⊆ . El conjunto A es llamado dominio de la función f y es denotado por Dom (f), mientras que el conjunto de todos los números f (x), con x ∈ A, es llamado rango de f y denotado por Ran (f).

      Dado un elemento x ∈ Dom (f), el número f (x) debe ser leído como “f de x” y es llamado imagen de x mediante f.

       Ejemplo 1.1

      Considere un cuadrado cuyo lado mide x cm. Sabemos que su área es igual a x² cm². Es decir, a cada valor positivo de x le corresponde un único valor para el área. Por tal razón, decimos que el área del cuadrado es una función de la medida de su lado y podemos escribir:

      Siendo x la longitud del lado del cuadrado, este debe ser un número real positivo, por lo tanto, el dominio de la función área es Dom (A) = 〈0; +∞〉.

      Figura 1.2

      Como vemos, si variamos el valor de x, variará también el valor de A (x); es decir, el valor de A (x) depende del valor de x. Por tal razón, decimos que x es una variable independiente, mientras que A (x) es la variable dependiente.

1.1.1 Gráfico de una función

      Dada una función f con dominio A, el gráfico de f se define como el siguiente conjunto de pares ordenados:

      Es decir, el gráfico de f es el conjunto de todos los pares ordenados (x; f (x)), con x ∈ A. También se dice que el gráfico de f está formado por todos los pares ordenados (x; y) tales que y = f (x).

      Figura 1.3

       Ejemplo 1.2

      Considere una función y = f (t) que describe el costo de producción de un artículo t meses después de su lanzamiento al mercado. Suponga que la gráfica de esta función es la que se muestra en la figura.

      Figura 1.4

      Vemos que los puntos (4; 40) y (14; 80) pertenecen al gráfico de f. Esto quiere decir que f (4) = 40 y f (14) = 80, lo cual significa que el costo de producción del artículo, cuatro y catorce meses después de su lanzamiento, es de 40 y 80 soles, respectivamente.

1.2. Funciones elementales

1.2.1 Función constante

      La función constante se define como:

      Donde la letra C denota una constante real. Ya que para cualquier número real x la función f toma el mismo valor, esta es llamada función constante. Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje de ordenadas Y en el punto C.

      Para C > 0:

      Figura 1.5

      Para C < 0:

      Figura 1.6

       Ejemplo 1.3

      Las funciones f (x) = 3 y g (x) = –3 son funciones constantes. Su gráficos son rectas horizontales que cortan al eje de ordenadas Y en los puntos 3 y –3 respectivamente, tal como muestran las siguientes figuras:

      Figura 1.7

      Figura 1.8

1.2.2 Función lineal

      La función lineal se define como:

      Donde m y b son constantes reales. Esta función debe su nombre al hecho de que su gráfica es una línea recta. Como sabemos, la constante m representa la pendiente de la recta, mientras que la constante b, el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas Y.

      Figura 1.9

      Notemos que cuando m = 0, la función lineal se convierte en función constante. Así, la función constante es un caso particular de función lineal.

      Recordemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación. Esto quiere decir que, dependiendo del signo de la pendiente m, varía la inclinación de la recta y = mx + b.

      Figura 1.10

       Ejemplo 1.4

      La figura 1.11 muestra las rectas L₁ y L₂, la primera con pendiente m = 2 y la segunda con pendiente m = –1. Estas rectas son las gráficas de las funciones f (x) = 2x + 4 y g (x) = –x + 7.

      Figura