Electrónica de potencia. Robert Piqué López

      2.5.3. Transformada de Fourier

      La serie de Fourier permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia para funciones periódicas f(t). Cabe preguntarse si es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener la representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas.

      La solución a esta cuestión se resuelve mediante la denominada transformada de Fourier, una función de variable compleja, generalización de (2.85) para cualquier tipo de funciones en tiempo continuo, f(t), y definida por

      La función F(ω) es una función compleja de la frecuencia (o pulsación) w, y se puede representar por

      donde . Las representaciones gráficas de F(ω) y de f(ω) se denominan, respectivamente, espectro de amplitud y espectro de fase de f(t), y resultan ser funciones continuas y aperiódicas de la pulsación ω.

      La transformada de Fourier se utiliza profusamente para el estudio frecuencial de sistemas. No obstante, en los procesos de medida o en cálculo apoyado en ordenador, las funciones temporales no lo son en tiempo continuo sino que son funciones de tiempo discreto, ya que únicamente existen en aquellos instantes de tiempo en los que el sistema reconoce su valor.

      De hecho, no es posible, físicamente, observar magnitudes periódicas, dado que únicamente se dispone de un intervalo temporal finito como período de observación. Por ello, es práctica habitual considerar que las magnitudes físicas, observadas durante un intervalo temporal TO, aunque puedan presentar repetibilidad periódica, T₁, en dicho intervalo, son aperiódicas y discretas (numéricas) como consecuencia del proceso de observación y medida o cálculo. En estas condiciones no es aplicable (2.94) sino que dicha expresión debe remplazarse por la denominada transformada discreta de Fourier, una función discreta, periódica y de simetría par, aproximada por la expresión

      expresión que permite determinar el n-ésimo componente frecuencial de la función temporal f(t) definida por K valores discretos f(tk) en el intervalo de observación TO.

      El cálculo de la transformada discreta de Fourier implica un número grande de operaciones, por lo que habitualmente se determina mediante el algoritmo en mariposa desarrollado [11] en 1965 por Cooley y Tukey denominado transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform) basado en utilizar un número de K puntos en potencias de 2, y descomponer (2.96) en diversas transformadas elementales. Los programas de simulación como PSIM, utilizan este procedimiento para la representación frecuencial de las magnitudes, acotando su respuesta para frecuencias positivas y eliminado la periodicidad teórica de la transformada calculada.

       2.6. Potencias en un régimen periódico

       2.6.1. Potencias en un régimen sinusoidal permanente

       • Circuito con carga resistiva pura

      Considérese el circuito indicado en la figura 2.48, donde , es decir, es una tensión sinusoidal de valor eficaz e_ef y pulsación ω₁.

      Figura 2.48. Circuito óhmico.

      En estas condiciones, la corriente que circulará por el resistor R vendrá dada por:

      es decir, es una corriente sinusoidal de pulsación ω₁ y valor eficaz

      Así pues, la potencia instantánea disipada por el resistor vendrá dada por:

      siendo su aspecto el indicado en la figura 2.49.

      Figura 2.49. Formas de onda en el caso de resistencia óhmica.

      El valor medio de esta potencia es:

      Se llama potencia activa, P, al valor medio de la potencia instantánea, coincidiendo, en caso de carga resistiva pura, con el producto de los valores eficaces de tensión y corriente.

      En este caso la interpretación física es que la fuente ha de suministrar una potencia que en valor medio vale EefIef, potencia que es absorbida por la carga y disipada totalmente en forma de calor. Se trata, por tanto, de una potencia útil.

       • Circuito con carga inductiva pura

      Considérese seguidamente el circuito indicado a la figura 2.50, con la misma excitación de tensión definida por Eefsinω₁t y carga inductiva pura L.

      Figura 2.50. Circuito inductivo puro.

      En este caso, la corriente que circulará por la inductancia vendrá dada por:

      suponiendo la inductancia descargada en el instante inicial (I(0) = 0), siendo el valor eficaz de la corriente.

      En este caso, la potencia instantánea vendrá dada por:

      y está representada en la figura 2.51, en la que se aprecian las formas de onda temporales y la representación fasorial⁴ de la tensión y de la corriente. Se puede apreciar que, en este caso, el valor medio de la potencia es nulo. En efecto, la inductancia es un elemento no disipativo (reactivo), y en el caso ideal planteado se trata de un proceso energético en el que en un cuarto de período la fuente recupera la energía entregada a la inductancia en el cuarto de período precedente.

       Figura 2.51. Formas de onda en el caso inductivo puro.

       • Circuito con carga capacitiva pura

      Si ahora se considera el circuito indicado a la figura 2.52, donde de nuevo e(t) = 2 Eef, sinωt₁,

       Figura