Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной. Стивен Строгац

Иногда действительно важно, как мы думаем о результатах процесса, приближающегося к какому-то пределу. Делая вид, что процесс в реальности заканчивается и каким-то образом достигает нирваны бесконечности, подчас можно попасть в неприятную ситуацию.

      Притча о многоугольнике с бесконечным числом углов

      В качестве примера возьмем круг, расставим на его границе (окружности) через равные промежутки определенное количество точек и соединим их отрезками. При трех точках получим равносторонний треугольник, при четырех – квадрат, при пяти – правильный пятиугольник и так далее, последовательно получая все новые правильные многоугольники.

      Обратите внимание, что чем больше точек мы используем, тем ближе наш многоугольник к кругу. При этом стороны многоугольников становятся все короче и многочисленнее. Наш круг – предел для построенных многоугольников.

      Таким образом, бесконечность снова соединяет два мира. На этот раз она ведет нас от прямолинейности к криволинейности, от угловатых фигур к гладкому кругу, тогда как в случае с пиццей бесконечность, наоборот, преобразовала круг в прямоугольник.

      Конечно же, на любом шаге многоугольник по-прежнему остается многоугольником. Это еще не круг и никогда им не станет. Фигуры приближаются к кругу, но никогда не совпадут с ним. Здесь мы имеем дело с потенциальной бесконечностью, а не с актуальной. Так что с логической точки зрения все безукоризненно.

      Но что, если бы мы могли пройти весь путь до актуальной бесконечности? Был бы итоговый многоугольник с бесконечным количеством углов и бесконечно короткими сторонами кругом? Заманчиво так думать, ведь тогда многоугольник окажется гладким. Все углы будут сошлифованы. Все станет идеальным и красивым.

Очарование и опасность бесконечности

      Здесь заложен общий принцип: пределы часто проще, чем приближения, ведущие к ним. Круг проще и изящнее, чем любой из угловатых многоугольников, к нему приближающих. То же самое относится и к доказательству с помощью пиццы, где предельный прямоугольник проще и элегантнее, нежели бугристые фигуры с некрасивыми выступами, и к дроби 1/3. Это проще и приятнее, нежели любое из неуклюжих приближений с большими числителями и знаменателями вроде 3/10, 33/100 или 333/1000. Во всех этих случаях предельная фигура или число проще и симметричнее, чем конечные приближения.

      В этом и состоит очарование бесконечности. Здесь все становится лучше.

      Помня об этом, давайте вернемся к притче о многоугольнике с бесконечно большим количеством углов. Нужно ли сделать решительный шаг и сказать, что круг – это действительно многоугольник с бесконечно большим количеством бесконечно малых сторон? Нет. Мы не должны поддаваться искушению и так поступать, поскольку это означает впасть в грех актуальной бесконечности. Это обрекло бы нас на логический ад.

      Чтобы понять, почему, предположим, что мы на миг подумали, будто круг – на самом деле многоугольник