Как не ошибаться. Сила математического мышления. Джордан Элленберг

адресованное неверующему математику… // Беркли Дж. Сочинения / Сост., общ. ред. и вступит. ст. И. С. Нарского; пер. А. Ф. Грязнова, Е. Ф. Дебольской, Е. С. Лагутина, Г. Г. Майорова, А. О. Маковельского. М.: Мысль, 1978. С. 425–426. Прим. М. Г.

      42

      При отсутствии воздействия силы тяжести, сопротивления воздуха и т. д. и т. п. Однако на коротком интервале времени такое линейное приближение является достаточно точным.

      43

      Самое время обратиться к Пушкину:

      Движенья нет, сказал мудрец брадатый.

      Другой смолчал и стал пред ним ходить.

      Сильнее бы не мог он возразить;

      Хвалили все ответ замысловатый.

      Но, господа, забавный случай сей

      Другой пример на память мне приводит:

      Ведь каждый день пред нами Солнце ходит,

      Однако ж прав упрямый Галилей.

Прим. М. Г.

      44

      По правде сказать, речь идет о подростках из летнего математического лагеря.

      45

      Есть объект, 2-адические числа, для которых этот довод, на первый взгляд бредовый, абсолютно корректен.

      Согласно теории Коши, сходимость ряда к пределу x означает, что когда вы суммируете все больше и больше членов этого ряда, итоговая сумма все больше приближается к значению x. Чтобы понять это, мы должны представлять, что значит «близость» двух чисел друг к другу. Оказывается, знакомое нам значение слова «близость» не единственное! В мире 2-адических чисел два числа считаются близкими друг к другу, если разность между ними представляет собой величину, кратную большой степени числа 2. Когда мы говорим, что ряд 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … сходится к значению −1, мы тем самым утверждаем, что частичные суммы 1, 3, 7, 15, 31… все больше приближаются к −1. В обычном понимании «близости» это не так, однако при использовании понятия 2-адической близости ситуация обстоит совсем иначе. Разность между числами 31 и −1 равна 32, что составляет достаточно малое 2-адическое число 25. Просуммируйте еще несколько членов этого ряда – и получите число 511, которое отличается от −1 на 512, еще меньшую величину (в 2-адическом смысле). Большая часть математики, которую вы знаете (анализ, логарифмы и экспоненциальные функции, геометрия), имеет аналог в мире 2-адических чисел (а также аналог в мире p-адических чисел для любого p). Взаимодействие между всеми этими концепциями близости являет собой отдельную историю – умопомрачительную и недосягаемо прекрасную.

      46

      Сюрреальные числа, которые описал Джон Конвей, – это особенно очаровательный и причудливый пример, о чем говорит само название. Этот класс чисел, глубинные аспекты которого еще не изучены, представляет собой удивительный гибрид чисел и стратегических игр. Полезную информацию об этих экзотических числах, а также многих математических методах ведения игр можно найти в труде Элвина Берлекэмпа, Джона Хортона Конвея и Ричарда Гая Winning Ways… («Выигрышные стратегии в математических играх»), см.: Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy. Winning Ways for Your Mathematical Plays. Natik MA: A K Peters/CRC Press. 2 ed. Vol. 1–4. 2001–2004.

      47

      Подобно