Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства. Леонард Млодинов

Читать онлайн.
Название Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Автор произведения Леонард Млодинов
Жанр Математика
Серия
Издательство Математика
Год выпуска 2001
isbn 978-5-904584-60-3



Скачать книгу

рецепт XIV века[102]), а вот идею поженить числа и геометрические фигуры – нет. Ныне графическое представление знания настолько общепринято, что мы едва ли думаем о нем как о математическом приеме: даже самый матемафобный директор «Эйвона» понимает, что линия на графике прибылей, тянущаяся вверх, есть многая радость. Но куда бы ни тянулись графики – вниз или вверх, – изобретение их стало жизненно важным шагом на пути к теории местоположения.

      Союз чисел и геометрии греки понимали, увы, неверно – аккурат в этом месте философия оказалась помехой. В наши дни любой школьник изучает, грубо говоря, числовой ряд – линию, обеспечивающую упорядоченную связь между точками на ней и положительными и отрицательными целыми числами, равно как и между всеми дробями и прочими числами на этой линии. Эти «другие числа» – иррациональные, т. е. не целые и не дроби, как раз их отказался признавать Пифагор, но они тем не менее существуют. Числовой ряд обязан включать в себя и их – без иррациональных чисел в нем возникнет бесконечное множество дыр.

      Мы уже говорили, как Пифагор открыл квадрат с длиной стороны в единицу, у которого диагональ равна квадратному корню из двух, а это иррациональное число. Если эту самую диагональ отложить в числовом ряду от нуля, другой ее конец обозначит точку, соответствующую иррациональному числу – квадратному корню из двух. Запретив обсуждение иррациональных чисел – они не вписывались в его представления о том, что все числа обязаны быть либо целыми, либо дробными, – Пифагор был вынужден запретить и ассоциацию прямой с числом. Таким способом он замел эту неувязку под ковер – и придушил тем самым одну из самых плодотворных идей в истории человеческой мысли. У всех свои недостатки.

      Одним из немногих преимуществ утери греческих трудов стал упадок влияния пифагоровых представлений об иррациональных числах. Теория иррациональных чисел не получила твердого фундамента аж до самого Георга Кантора и работ его современника Рихарда Дедекинда – в XIX веке. И тем не менее, со Средних веков и до Дедекинда и Кантора большинство математиков и ученых закрывали глаза на кажущееся несуществование иррациональных чисел и вполне счастливо, хоть и неумело, все равно их применяли. Очевидно, радость получения правильного ответа перевешивала неприятности работы с числами, которых не существует.

      В наше время применение «нелегальной» математики – общее место науки, особенно физики. Теория квантовой механики, например, разработанная в 1920–1930-х годах, очень полагалась на нечто придуманное английским физиком Полем Дираком – дельта-функцию. Согласно математике того времени, дельта-функция попросту равнялась нулю. По Дираку же, дельта-функция равна нулю всюду, кроме одной точки, где ее значение – бесконечность, и, если применить эту функцию вместе с определенными методами счисления, она дает ответы одновременно и конечные, и (обычно) отличные от нуля. Позднее французский математик Лоран Шварц смог доказать, что правила математики можно переформулировать так, чтобы допустить существование



<p>102</p>

Reay Tannahill, Food in History (New York: Stein & Day, 1973), стр. 281.