Эффект плато. Как преодолеть застой и двигаться дальше. Боб Салливан

форма представляет собой прямоугольник, длина двух сторон которого составляет половину от длины двух других – в данном случае сторона, параллельная дому, должна иметь длину 7,5 метра, а две другие – 3,75 метра (если вы хотите получить дополнительное подтверждение нашим расчетам, прочитайте текст сноски){6}.

      Шарик получает реальную пользу от ваших расчетов. Если бы вы выбрали очевидную форму квадрата, то в его распоряжении было бы 25 квадратных метров. Однако, благодаря вашим развитым математическим навыкам он получает более 28 квадратных метров.

      Реальный мир вокруг нас полон проблем, которые можно решить с помощью формул и расчетов. Вот вам проблема, с которой вы можете столкнуться буквально каждый день: как выглядит оптимальная форма для банки с прохладительным напитком, позволяющая максимизировать объем и при этом минимизировать площадь поверхности (а значит, сэкономить расходы на алюминий)? В сущности, это банка, высота которой чуть больше ширины. Но представьте, что вместо расчетов инженеры компаний – производителей колы тратили бы все время на досужие споры о том, выше или шире должны быть банки.

      Кажется странным? Однако именно так большинство из нас проживает свою жизнь. Нам дают совет, и мы ему следуем. В течение какого-то времени все идет хорошо, но часто мы продолжаем следовать совету даже после того, как он пережил свою пользу. Давайте на минутку вернемся к истории с загоном для собаки и поясним, что мы имеем в виду.

      Представьте себе, что вы начали строить квадратный загон, а ваша жена говорит, что вы должны удлинить сторону, противоположную дому. Она молодец, не правда ли? Правда, но лишь отчасти. Если бы вы последовали ее совету и удлинили сторону загона до предела, у собаки осталось бы меньше места, чем было. Что если бы упоенные властью конструкторы банок для напитков, которые хотели бы сделать их выше (назовем их высотчики), убедили производителя делать банки, напоминающие по форме миниатюрные небоскребы? Довольно быстро компания стала бы банкротом. Высотчики были правы, но лишь на время.

      В решении проблем с загоном, формой банки и миллиона других проблем из реального мира имеется масса нюансов. Нужно учесть и это, и то, к тому же в разных пропорциях. Для поиска оптимального решения нужна высшая математика, однако большинство из нас пользуются лишь элементарной алгеброй. Подумайте хотя бы о политических дебатах – одна сторона кричит о снижении налогов, а другая – об инвестициях в инфраструктуру. Очевидно, что решение включает в себя результат балансирования между двумя идеями, однако республиканцам и демократам не так-то просто выйти за пределы выражения A + B = C. Одна сторона строит высокую и тонкую банку для напитков, а другая – банку, напоминающую по форме крышку канализационного люка. В результате страдаем мы все.

      От такого алгебраического мышления в стиле «черное против белого» или «все или ничего» страдает множество сфер нашей жизни. Оно не позволяет нам ни сбросить

6

Возможно, вам любопытно узнать, как Шарик смог получить большой загон. Хью считал, что мы должны показать все расчеты. Но Боб сказал, что никто не любит уравнения. Поэтому мы решили включить все наши подсчеты в примечания.

Итак, вспомним, что у нас есть 15 метров готового забора для строительства собачьего загона для Шарика, причем одной из сторон загона будет стена дома.

У нас есть и еще одно условие – стороны забора должны составлять в сумме 15 метров. Алгебраическое уравнение выглядит как:

2x + y = 15

В такой ситуации простой алгебраический подход состоит в том, чтобы сделать все три стороны одинаковыми:

x = y = 15⁄3 = 5 м

Разумеется, это даст нашему Шарику достаточно места. В результате мы получаем квадрат площадью:

5 × 5 = 25 м²

Однако возможно и лучшее решение. Для начала давайте перепишем наше условие в виде:

y = 15 − 2x

Давайте теперь поместим это выражение в наше уравнение для расчета площади:

z = xy

z = x (15 − 2x)

z = 15x – 2x²

График для этой функции выглядит примерно так:

Не кажется ли вам знакомой первая половина кривой?

Теперь давайте продифференцируем эту функцию по отношению к x. Если вам прежде не доводилось сталкиваться с дифференциальными уравнениями, то поверьте нам на слово. В итоге мы получаем уравнение для наклона кривой. Если величина наклона равна нулю, это значит, что мы достигли ее вершины. Эта точка на математическом языке называется максимумом функции. Вот как выглядят математические построения для нее:

z = 15x – 2x²

∂z⁄∂x = 15 – 4x

Установив величину z равной нулю, мы получим:

0 = 15 – 4x = 15⁄4 = 3,755

Таким образом, если x = 3,75 м, то y = 7,5 м, а площадь загона составит 3,75 × 7,5 = 28,125 м². Иными словами, наш Шарик получает куда больше места для своих игр.