Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения. Владимир Валентинович Трошин

цифр данного числа по убыванию,

      _у4723=7432;

      _хn – произведение цифр данного числа,

      _х1953=1·9·5·3=135.

      В этом предложении есть свои плюсы. Во-первых, любой введенный математический знак фактически является иероглифом, то есть заменяет целое слово или, как здесь, целую группу слов.

      Во-вторых, все эти знаки есть в редакторе формул программы Microsoft Word и, следовательно, никаких проблем с набором текстов на компьютере не создадут.

      Время покажет, приживется ли это предложение.

      Среди унарных операций, которые можно провести с каждым натуральным числом есть одна, которая первоначально использовалась не в математических целях, а в целях околонаучных, типа гаданий, предсказаний и тому подобного. Операция называется вычисление цифрового корня числа. Цифровой корень натурального числа – это цифра, полученная в результате повторяющегося процесса суммирования цифр сначала данного числа, затем вновь полученного, повторяя процесс до тех пор, пока не будет получена одна цифра. Например, цифровой корень 1987652 это 2, потому что 1+9+8+7+6+5+2=38, далее 3+8=11 и, наконец, 1+1=2. Для этой операции встречается и другое название – конечная сумма цифр.

      Пользуясь сказанным выше, по аналогии, можно ввести обозначение для этой унарной операции: ₍₊₎n – тогда запись примет вид: ₍₊₎1987652=2. Объяснение вводимого знака следующее: + означает суммирование цифр, а круглые скобки показывают, что суммирование неоднократное, как в периодической дроби они показывают период цифры.

      Очевидное свойство цифрового корня: n≤9₍₊₎n=n, то есть цифровой корень однозначного числа равен этому числу, а точнее этой цифре. Имеет место следующее утверждение: Сумма цифр числа n имеет такой же остаток при делении на 9, как и число n.

      Поскольку, если число больше 9, сумма цифр этого числа меньше самого числа, то справедливы следующие две формулировки:

      а). Цифровой корень числа совпадает с остатком от деления исходного числа на 9, если только этот остаток отличен от 0.

      б). Для чисел, сравнимых с 0 по модулю 9, цифровой корень равен не 0, а 9.

      Цифровые корни часто используют для того, чтобы убедиться, что какое-нибудь очень большое число не является точным квадратом или кубом. Все квадраты имеют цифровые корни 1, 4, 7 или 9, а их последними цифрами могут быть 2, 3, 7 или 8. Кубы могут оканчиваться на любую цифру, но их цифровыми корнями могут быть только 1, 8 или 9.

      Определившись с математическими операциями на множестве натуральных чисел, в том числе с операциями унарными, которые в этом множестве часто встречаются, перейдем к изучению свойств натуральных чисел. Но прежде хочу поместить изображения вводимых унарных операций так, как они выглядят в редакторе формул, а не в клавиатурном наборе. Клавиатурный набор искажает эти знаки. Последний знак еще не введен, он встретится в дальнейшем изложении. Подчеркну, что введенные знаки объединены одной идеей, легко запоминаются и допускают продолжение, то есть введение новых знаков по аналогии при возникновении необходимости.

      Вернемся к числам. При рассмотрении натуральных чисел имеют место несколько подходов к изучению их свойств. Рассматривая некое свойство, из множества всех натуральных чисел выделяется подмножество чисел, обладающих данным