Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения. Владимир Валентинович Трошин

В дальнейшем имена собственные будет встречаться чаще.

      Числа Цукермана - такие натуральные числа, которые делятся на произведение своих цифр. В честь какого Цукермана названы эти числа мне не удалось выяснить. Фамилия довольно распространенная и в русской интерпретации превращается в фамилию Сахаров. Определение этих чисел приведено в книге James J. Tattersall «Elementary Number Theory in Nine Chapters» издательства Кэмбриджского университета, 1999 года. Например, 135 – число Цукермана, так как 1+3+5=9; 135/9=15. Все целые числа от 1 до 9 являются числами Цукермана. Все числа, включающие ноль, не являются числами Цукермана, так как произведение их цифр равно нулю, а деление на ноль невыполнимо. Первые несколько чисел Цукермана, состоящие более чем из одной цифры: 11, 12, 15, 24, 36, 111, 112, 115, 128, 132, 135, 144, 175, 212, 216, 224, 312, 315, 384 … .

      Числа Цукермана не могут содержать более чем восемь различных цифр, так как цифра 5 не может совмещаться ни с одной четной цифрой. Произведение четной цифры и 5 даст число, кратное 10, а исходное число не содержит цифры 0, следовательно, не может делиться на 10. Наименьшее число Цукермана, содержащие восемь различных цифр – это 1196342784. В свою очередь числа Цукермана это подмножество обнаженных чисел (извините, но есть и такие).

      Натуральное число называют обнаженным, если оно делится на каждую из своих цифр в отдельности (которые должны быть ненулевыми). Например, 48=4·12=8·6, 672=6·112=7·96=2·336. Введение этого термина объясняют тем, что такие числа раскрывают (обнажают) свои сокровенные тайны. В первом миллионе натуральных чисел содержится 9039 обнаженных чисел. Всего таких чисел бесконечно много, так как любое моноцифровое число является обнаженным.

      Первые обнаженные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 22, 24, 33, 36, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99, 111, 112, 115, 122, 124, 126, 128, … . Насколько мне удалось выяснить, этот странный термин ввел некий У. Катагири. Фамилия, распространенная в Японии настолько, что установить, кто он такой не удалось.

      Полет фантазии

      Процесс отыскания и наименования новых классов чисел среди чисел натуральных, кроме уже рассмотренных, шел сотни лет. Придумано так много разного, что издание с кратким описанием всего открытого и названного должно быть многотомным. Можно только на свой вкус отобрать конечное множество разнообразных определений чисел, и в какой-то момент сказать себе стоп! Попробуем так и сделать.

      ***

      Бесквадратным, или свободным от квадратов, называется число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1. К примеру, 10 – свободное от квадратов, а 18 – нет, так как 18 делится на 9=3². Начало последовательности свободных от квадратов чисел таково: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, … .

      Натуральное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда в разложении этого числа на простые множители ни одно простое число не встречается больше одного раза, то есть все простые множители входят в разложение числа только в первой степени.

      ***

      Гладким числом называется натуральное число, все простые делители которого малы. Поскольку понятие «делители малы» может быть истолковано произвольно, чаще