Сборник статей и публикаций 2012-2013 гг. В двух частях. Часть I. Фёдор Шкруднев

предыдущего числа с самим собой: 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2… во втором – это сумма двух предыдущих чисел: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…

      Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

      Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Рассмотрим числовой ряд, S + 1, первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через?_S(n), то получим общую формулу?_S(n) =?_S(n – 1) +?_S(n – S – 1).

      Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4 новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

      В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x^S+1 – x^S – 1 = 0.

      Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 – знакомое классическое золотое сечение.

      Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

      Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э. М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984 г.) Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п.) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезу о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики – новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

      С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.

      Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S>0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные, затем их отношения – числа рациональные. И лишь позже, после открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков, на свет появились иррациональные числа.

      Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа: 10, 5, 2, из которых уже по определенным правилам конструировались