Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие. Александр Анатольевич Казанский

С состоят из одних и тех же элементов и поэтому они равны, т. е. А ∩ В = А ∩ С.

      1.22. Доказать, что операция разности множеств не ассоциативна, т. е.

      (А\В)\С ≠ А\(В\С).

      Преобразуем левую часть неравенства:

      (А\В)\С = (А ∩ ВС)\С = (А ∩ ВС) ∩ СС = А ∩ ВС ∩ СС.

      Преобразуем правую часть:

      А\(В\С) = А\(В ∩ СС) = А ∩ (В ∩ СС)С = А ∩ (ВС ∪ С) = = (А ∩ ВС) ∪ (А ∩ С) = (А ∩ ВС) ∩ (С ∪ СС) ∪ (А ∩ С) ∩ (В ∪ ВС) =

      = (А ∩ ВС ∩ С) ∪ (А ∩ ВС ∩ СС) ∪ (А ∩ В ∩ С) ∪ (А ∩ ВС ∩ С)

      = (А ∩ ВС ∩ С) ∪ (А ∩ ВС ∩ СС) ∪ (А ∩ В ∩ С).

      Множество левой части не совпадает с множеством правой части, и это доказывает, что операция разности множеств не ассоциативна.

      1.23. Доказать, используя элементный метод, что если А, В и С подмножества универсального множества U и если А ⊆ В, то ВС ⊆ АС.

      Пусть А, В и С подмножество универсального множества U. Рассмотрим любой элемент х ∈ ВС. По определению дополнения ВС ∩ В = Ø, поэтому если х является элементом ВС, то он не может быть элементом В, т. е. х ∉ В. Элемент х также не может принадлежать и множеству А, поскольку А ⊆ В, т. е. х ∉ А, но тогда х ∈ АС. Таким образом, показано, что для любого элемента х из множества ВС этот элемент принадлежит и множеству АС, т. е. ВС ⊆ АС.

      1.24. Доказать, используя элементный метод, что если А ⊆ В, то

      (a) А ∩ С ⊆ В ∩ С,

      (b) А ∪ С ⊆ В ∪ С.

      (a) Пусть х ∈ А ∩ С. Тогда х ∈ А и х ∈ С и поскольку А ⊆ В, то х ∈ В. Из того, что х принадлежит и В и С, следует, что он принадлежит их пересечению х ∈ В ∩ С. Это означает, что для любого х, входящего в множество А ∩ С, элемент х входит и в множество В ∩ С, т. е. А ∩ С ⊆ В ∩ С.

      (b) Поскольку А ⊆ В, то ВС ⊆ АС (задача 1.23). Тогда для любого множества СС его пересечение с ВС будет включаться в его пересечением с АС (потому что нет ни одного элемента ВС, входящего в пересечение ВС ∩ СС и не являющегося элементам АС, но ВС ∩ СС могут быть элементы из АС, не являющиеся элементами ВС), т. е. ВС ∩ СС ⊆ АС ∩ СС. Затем, снова применяя результат задачи 1.23, получим, что (АС ∩ СС)С ⊆ (ВС ∩ СС)С. По закону де Моргана получим А ∪ С ⊆ В ∪ С, что и доказывает искомый результат.

      1.25. Дано множество А = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}. Какие из приведенных ниже семейств множеств являются разбиениями:

      (a) {{1, 2, 3}, {2, 4, 5}, {6, 9}, {7, 8}},

      (b) {{1, 3, 5}, { 7, 6}, {2, 4, 8, 9}},

      (c) {{1, 2}, {3, 5, 6, 7}, {4, 8, 9}, {1, 2}},

      (d) {{1, 2}, {3, 4, 5}, {7, 8}, {9}}.

      (a) Не разбиение, потому что элемент 2 входит в {1, 2, 3} и {2, 4, 5}.

      (b) Разбиение, потому что каждый элемент А принадлежит точно одному блоку.

      (c) Разбиение, потому что можно игнорировать факт, что {1, 2} встречается дважды.

      (d) Не разбиение, потому что нет элемента 6.

      1.26. Пусть А и В непересекающиеся множества. Обозначим через Sa разбиение множества А, а через Sb – разбиение множества В. Доказать, что Sa ∪ Sb является разбиением множества А ∪ В.