Физика без камней в голове. Э. В. Серга

p и q – простые высказывания. Для соединения предложения в более сложное предложение, используют связки. Их всего четыре:

      конъюнкция – означает связку «и» (p и q),

      дизъюнкция – означает связку «или» (p или q),

      импликация – означает связку «если, то» (если p, то q),

      эквиваленция – означает связку «тогда и только тогда»

      (p тогда и только тогда, когда q).

      Для того чтобы установить, является ли истинным сложное высказывание «p и q», нам нужно лишь знать, истинны ли обе его компоненты p и q. Если это так, то «p и q» истинно. Нам незачем для этого знать что-либо о содержании высказывания p или высказывания q.

      Точно также мы можем сделать заключение об истинности высказывания «p или q», если мы знаем, что, по крайней мере, одно из высказываний истинно, причём смысловое содержание высказываний p и q не играет здесь никакой роли. Заметим, что «p и q» является истинным и тогда, когда p и q оба истинны. Высказывание «если p, то q» не является истинным только в том случае, когда p истинно, а q, тем не менее, не истинно. В дополнение к ранее указанным связкам, посредством которых из двух высказываний получается одно новое высказывание, используется связка «не», которая указана в третьем столбце ниже приведенной таблицы и читается как «не». Она обращает высказывание p в высказывание «не p».

      Исчисление высказываний можно описать следующим образом. Из данных высказываний p, q, r, … можно с помощью связок строить новые высказывания. При этом необходимо соблюдать последовательность построения и, если необходимо, определить эту последовательность с использованием скобок. Относительно связки используется следующее правило: если за связкой непосредственно следует буква, то связка относится к этой букве; если же сразу после связки открываются скобки, то связка относится ко всему заключённому в скобки выражению.

      В высказывании нас интересует, прежде всего, его истинностное значение, т.е. является оно истинным или ложным. Чтобы ответить на этот вопрос, нам ничего не надо знать о составляющих высказываниях, кроме их истинностных значений. Эта информация полностью определяет истинностное значение сложного высказывания. Для обозначения истины используется символ 1, а лжи – символ 0. Истинностное значение высказывания p обозначим через |p|. Тогда для любого p справедливо либо |p| = 0, либо | p| = 1. Для каждой связки можем составить истинностную таблицу, показывающую, когда высказывание, образованное посредством этой связки, истинно, а когда ложно:

      Обозначения в столбцах: 1 и 2 – значения простых высказываний p и q; значения сложных высказываний: 3 – «не р», 4 – «p и q»; 5 – «p или q»; 6 – «если p, то q»; 7 – «p тогда и только тогда, когда q»; 8 – «ни p, ни q».

      Слева в первом и втором столбцах выписаны все возможные комбинации пары высказываний