.

к простым числам, может повлиять на безопасность вашего банковского счета, но это добавляет теме интереса. Как только удается выяснить что-то новое, что помогает связать простые числа и компьютерные вычисления, это привлекает повышенное внимание. Так случилось и с тестом Агравала – Каяла – Саксены, хотя при всей своей математической элегантности и важности непосредственного практического значения он не имеет.

      Тем не менее он позволил немного под другим углом рассмотреть общий вопрос криптографии по Ривесту – Шамиру – Адлеману, и результат вызывает некоторые опасения. До сих пор не существует ни одного алгоритма P-класса для решения второй из названных Гауссом задач – разложения на простые множители. Большинство специалистов сходятся во мнении, что такого алгоритма не существует, но в последнее время их уверенность несколько поколебалась. Поскольку где-то за кулисами, совсем рядом, могут скрываться и другие открытия, подобные тесту Агравала – Каяла – Саксены и основанные на таких же простых идеях, как полиномиальная версия теоремы Ферма (и не важно, что пока о них никто даже не подозревает), может оказаться, что системы шифрования, основанные на разложении числа на простые множители, не настолько надежны, как нам хочется верить. Так что пока не стоит раскрывать в Интернете кличку вашей кошки!

      Даже элементарная математика простых чисел ведет к выдвижению более сложных концепций. Евклид доказал, что простые числа уходят в бесконечность, так что невозможно просто перечислить их все и успокоиться. Мы не можем также дать простую и практичную алгебраическую формулу для вычисления всех простых чисел подряд, примерно так, как по формуле x² вычисляются квадраты чисел. (Простые формулы существуют, но они «мошенничают», встраивая в формулу сами простые числа под разными личинами, и в результате не сообщают нам ничего нового{3}.) Пытаясь познать природу этих неуловимых и странных чисел, мы экспериментируем, ищем в них признаки структурированности и пытаемся доказать, что найденные нами закономерности присутствуют во всех простых числах, какими бы большими они ни были. Можно, к примеру, задаться вопросом о том, как простые числа распределены среди всех целых чисел. Таблицы простых чисел позволяют предположить, что чем дальше, тем таких чисел становится меньше. В табл. 1 показано, сколько простых чисел содержится в разных диапазонах на 1000 последовательных целых чисел.

3

Примером того, что я имею в виду, может служить формула, где квадратные скобки обозначают наибольшее целое число, меньшее или равное их содержимому. В 1947 г. У. Миллс доказал, что существует действительная константа A, такая, что для любого n вычисленное по этой формуле значение будет простым. Если считать гипотезу Римана верной, то минимальное значение A, удовлетворяющее условию, равно приблизительно 1,306. Однако эта константа определяется при помощи подходящей последовательности простых чисел, а формула – всего лишь символьный способ записи этой последовательности. Подобные формулы, включая некоторые из тех, что представляют все простые числа, представлены также на сайтах:

http://mathworld.wolfram.com/PrimeFormulas.html;

http://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes.