Мысли и факты – Gedanken und Thatsachen (1902) Кульминация – Die Klimax der Theorien теорий (1884). Том 2. Философские трактаты, афоризмы и исследования. Отто Либман

ней продолжающееся деление никогда не может закончиться, а может продолжаться всегда в силу своей безразрывности, и, следовательно, уходит в бесконечность. На сколько равных частей делится лонтинуум при продолженном делении, из стольких же частей он восстанавливается при составлении, причем число частей обратно пропорционально их малости; так:

      a = 10 ^a/10 = …1000 ^a/1000 = ∞ a/∞.

      Если a и d – два неравных континуума, например, две линии пространства или времени разной длины, то дифференциалы a/∞ и b/∞ будут бесконечно малы с обеих сторон и при этом не равны друг другу, а будут находиться в том же соотношении, что и сами конечные величины a и b. Если s в тысячу или миллион раз больше b, то получаются две бесконечно малые величины, одна из которых в тысячу или миллион раз больше другой. Таким образом, математически строгое мышление приводит к парадоксальному и неизбежному следствию: существует бесконечное число порядков бесконечно малых величин, которые связаны друг с другом таким образом, что бесконечно малая величина одного порядка должна быть бесконечно большой по сравнению с бесконечно малой величиной следующего порядка. Но здесь кроется серьезный парадокс, который, однако, заставляет усомниться в реальности континуума и может привести нас к заявлению, что всякий континуум вообще является обманчивой видимостью, в основе которой лежит нечто совершенно иное. Так считает епископ Беркли, так считает и Гербарт; и этот вывод содержится в странном Λογοι Зенона Элейского на эмбриональной стадии развития.

      При ближайшем рассмотрении, однако, возможно, станет очевидным, что здесь был сделан тайный скачок и предпринято обозначение сомнительного закона.22

      Во-первых, трудности мышления, парадоксы и противоречия, скрытые в понятии континуума, отнюдь не преодолены и не устранены тем, что математик отрицает абсолютную реальность континуума и сводит его к чисто субъективному воображаемому феномену. Но тогда: тот, кто считает, что представленные парадоксы можно разрешить, отрицая способность континуума существовать, отрицая его реальность, не развязал гордиев узел, а разрубил его переворотом, или, вернее не разрубил, а отождествил нашу неспособность к исчерпывающему анализу понятий с объективной неспособностью к бытию. Его скрытой предпосылкой была бы придирчивая посылка «Все, что человеческий разум не может исчерпывающе концептуально проанализировать, нереально»; но эта посылка, пожалуй, утверждает слишком много, поскольку с ее помощью можно было бы продемонстрировать и многое другое, очевидно абсурдное, например, нереальность нашего собственного «я». Относительность всех наших представлений о величине, о которой говорилось в другом месте23, тесно связана с учением об бесконечно делимом континууме, и непреодолимости этой относительности составляет, как заметит проницательный человек, один из существенных барьеров на пути нашего познания.

      Понятно,

22

Дифференциальное и интегральное исчисление, которое, по слухам, является наукой, «заставляющей траву расти», имеет своим объектом именно проблему эонтинуума и является analysis infinitorum. Для него не составляет особого труда применять дифференциалы различных порядков, определять значение дифференциальных коэффициентов, формировать определенные интегралы, т.е. фиксировать сумму бесконечного числа бесконечно малых величин и т. д. Но, как хорошо известно специалисту, она везде работает с невыполнимыми постулатами и невыполнимыми арифметическими операциями. Она достигает своей цели, показывая окольными путями, с помощью определенных уловок, к какому результату приведет выполнение тех или иных непонятных операций рассуждения. Деление in infinitum на самом деле неосуществимо. Ведь требование «делить х до бесконечности» означает «делить х, никогда не прекращая деления», а то, что никогда не прекращается, никогда не может быть завершено. Проблема континуума очень ловко обходится в анализе infinitorum путем умелого оперирования с невыполненными постулатами, но не решается.

23

Ср. т. I данной работы, с. 224—226