Генезис. Небо и Земля. Том 1. История. Максим Филипповский

      123

      Тензор – матем. величина особого рода, задаваемая числами и законами их преобразования; является развитием и обобщением вектора и матрицы. Происходит от нем. Tensor, далее от лат. tendere «направляться, стремиться; склоняться».

      124

      Theorema Egregium (в переводе с латыни «замечательная теорема») – исторически важный результат в дифференциальной геометрии, доказанный Гауссом. Гаусс сформулировал теорему следующим образом (перевод с латыни): «Таким образом, формула из предыдущей статьи влечёт замечательную теорему. Если криволинейная поверхность разворачивается по любой другой поверхности, то мера кривизны в каждой точке остается неизменной.». Теорема «замечательна», поскольку авторское определение гауссовой кривизны использует положение поверхности в пространстве. Поэтому довольно удивительно, что результат никак не зависит от изометричной деформации. В современной формулировке теорема гласит: Гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности. Иными словами, гауссова кривизна может быть определена исключительно путём измерения углов, расстояний внутри самой поверхности и не зависит от конкретной её реализации в трёхмерном евклидовом пространстве.

      125

      В 1853 году Гаусс попросил своего ученика Римана подготовить подготовить учебник по основам геометрии. В течение многих месяцев Риман развивал свою теорию высших измерений и прочитал в Геттингене в 1854 году лекцию под названием «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» (Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen). Она была опубликована Дедекиндом только двенадцать лет спустя, в 1868 году, через два года после смерти Римана. Заслуги Римана были признаны позднее, и теперь его работы признаны одними из самых важных в геометрии. Риман нашел правильный способ распространить на n измерений дифференциальную геометрию поверхностей, которую сам Гаусс доказал в своей «замечательной теореме». Фундаментальный объект называется тензором кривизны Римана. Для поверхностного случая это может быть сведено к числу (скалярному), положительному, отрицательному или нулю; ненулевые и постоянные случаи являются моделями известных неевклидовых геометрий. Идея Римана состояла в том, чтобы ввести набор чисел в каждой точке пространства (то есть тензор), который описывал бы, насколько он изогнут или искривлен. Риман обнаружил, что в четырех пространственных измерениях требуется набор из десяти чисел в каждой точке, чтобы описать свойства многообразия, независимо от того, насколько оно искажено. Это знаменитая конструкция, занимает центральное место в его геометрии, известная теперь как риманова метрика.

      126

      Отображение, увеличивающее расстояния не более, чем в некоторую константу раз, впервые рассматривалось Рудольфом Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при α = 1, а при α <1 – условием Отто Гёльдера. Такое отображение