Un curso de álgebra. Gabriel Navarro Ortega

como clases de equivalencia. (En el problema 1.10, explicamos cómo hacer esta construcción).

      En la segunda parte de este libro, cuando desarrollemos la teoría de Galois, trabajaremos con el conjunto de números reales ℝ y el de los complejos ℂ. La construcción rigurosa de ℝ es uno de los hitos de la matemática del siglo XIX, pero esta es materia de nuestros colegas los analistas. Apenas utilizaremos propiedades de los números reales, más que aquellas que están directamente asociadas a su suma, multiplicación (ℝ es un cuerpo) y a los polinomios. Por ejemplo, dado 0 ≤ a ∈ ℝ y 0 < n ∈ ℕ supondremos que existe un único número real 0 ≤ b ∈ ℝ tal que bⁿ = a. Este número b se escribe Un número real a ∈ ℝ es irracional si a ∉ ℚ. Como los ceros del polinomio xⁿ − 1 son fundamentales en teoría de Galois, un poco de trigonometría también será necesaria.

      Recordamos que un entero n ∈ ℕ es un cuadrado si n = a² para cierto a ∈ N.

      Teorema 1.16 Sean n, m ∈ ℕ no cero con mcd(n, m) = 1. Entonces si y solo si n y m son cuadrados.

      Demostración. Suponemos que , y probamos que n y m son cuadrados. Por ejemplo, probamos que n es un cuadrado. Sea p un primo y supongamos que p^f es la mayor potencia de p que divide a n con f ≥ 1. Es suficiente con probar que f es par y luego utilizar el teorema fundamental de la aritmética. Por hipótesis, podemos escribir

      donde a, b ∈ ℕ. Entonces

      b²n = a²m.

      Como n y m son coprimos, sabemos que p no divide a m. Por tanto, si p^e es la mayor potencia de p que divide a b, tenemos que es la mayor potencia de p que divide a a². Concluimos que 2e + f es par, y por tanto, también lo es f. Por el teorema fundamental de la aritmética, concluimos que n es un cuadrado. La implicación contraria es trivial.

      Como decimos, en la segunda parte del libro estaremos interesados en polinomios y en sus ráıces. Por ejemplo, ¿cuáles son los ceros del polinomio x⁸ − 1? Para contestar, necesitamos trabajar con números complejos y una cierta trigonometría.

      El cuerpo de los nú meros complejos ℂ se define formalmente como el conjunto ℝ² = {(a, b) | a, b ∈ ℝ} con la suma (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y la multiplicación (a, b)(c, d) = (ac−bd, ad+bc). Si llamamos i = (0, 1), vemos que i² = (−1, 0). Si identificamos a con (a, 0), podemos escribir (a, b) = a+bi, que es la notación que vamos a utilizar. Así, por ejemplo, tenemos que ℝ ⊆ ℂ o que

      Teorema 1.17 (fórmula de De Moivre) Si a ∈ ℝ y n ∈ ℕ, entonces

      (cos(a) + sen(a)i)ⁿ = cos(na) + sen(na)i.

      Demostración. Si suponemos las igualdades trigonométricas

      cos(α + β) = cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)

      y

      sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β),

      la fórmula de De Moivre es inmediata por inducción sobre n.

      Con la fórmula de De Moivre, ya podemos calcular los ceros del polinomio xⁿ − 1: son los n números complejos ξ^k, donde

      y 0 ≤ k ≤ n−1. Estos n números complejos son muy importantes y se denominan las ráıces n-ésimas de la unidad. Los podemos situar en la circunferencia de radio 1 al dividirla en n-ángulos iguales. Por ejemplo, las ráıces 4-ésimas de la unidad son {1, i, −1, −i}.

      PROBLEMAS

      1. Sean A, B, C conjuntos. Probar:

      (i) Si A ∩ B = A ∩ C y A ∪ B = A ∪ C, entonces B = C.

      (ii) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B).

      (iii) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C).

      (iv) A − (A − B) = A ∩ B.

      (v) (B ∪ C) − A = (B − A) ∪ (C − A).

      (vi) (A − B) − C = (A − B) ∩ (A − C).

      2. Sea f : X → Y una aplicación. Si A ⊆ X, se define f(A) = {f(a) | a ∈ A}. Si B ⊆ Y, se define f⁻¹(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}.

      (i) Si A ⊆ X, probar que A ⊆ f⁻¹(f(A)).

      (ii) Probar que f es injectiva si y solo si A = f⁻¹(f(A)) para todo A ⊆ X.

      (iii) Si B ⊆ Y, probar que f(f⁻¹(B)) ⊆ B.

      (iv) Probar que f es suprayectiva si y solo si f(f⁻¹(B)) = B para todo B ⊆ Y.

      3. Sea f : X → Y una aplicación. Si A y B son subconjuntos de X, probar que f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) y f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B). Probar que f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) para todos los subconjuntos A, B ⊆ X si y solo si f es inyectiva.

      4. Una aplicación f : X → Y es invertible izquierda si existe g : Y → X tal que g ∘ f = 1_X. Se dice que f es invertible derecha si existe g : Y → X tal que f ∘ g = 1_Y. Probar que f es inyectiva si y solo si f es invertible a izquierda. Probar que f es suprayectiva si y solo si f es invertible a derecha.

      (Nota: Para probar que si f es suprayectiva entonces f tiene inversa a derecha necesitamos el llamado axioma de elección. El axioma de elección afirma que si X es un conjunto cuyos elementos son conjuntos no vacíos, entonces