Un curso de álgebra. Gabriel Navarro Ortega

Definimos 0! = 1 y n! = 1 · 2 … (n − 1) · n para n > 0. Si 0 ≤ a ≤ n, definimos

      Si 1 ≤ a < n, probar que

      Deducir que

      21. Probar que el producto de k naturales consecutivos es divisible por k!

      22. (Binomio de Newton) Si a, b ∈ ℤ y n > 0, entonces

      23. Sea p un primo, y sea 1 ≤ k < p. Probar que p divide a .

      (Ayuda: Sabemos que p divide a , pero p no puede dividir a (p − k)!k!).

      24. Probar las siguientes afirmaciones:

      (i) Si n es impar, entonces n² − 1 es divisible por 8.

      (ii) Si a ≠ 0 es un entero, entonces a divide a (1 + a)ⁿ − 1.

      (iii) Si n es cualquier entero, entonces 4 no divide a n² + 2.

      25. Si a, b, c son enteros no cero y mcd(a, c) = 1, probar que mcd(a, b) = mcd(a, bc).

      26. Recordar que si a ∈ ℝ − ℚ, entonces a se dice irracional.

      (i) Sean a ∈ ℚ y b ∈ ℝ irracional. Probar que a + b es irracional. Si a ≠ 0, probar que ab es irracional.

      (ii) Si n ∈ ℕ, probar que es irracional.

      (iii) Probar que es irracional.

      (iv) Probar que no se puede escribir de la forma , donde r, s ∈ ℚ.

      27. Comprobar que existen números irracionales a, b ∈ ℝ tales que a^b es racional.

      (Ayuda: Si no es racional, volver a elevar a ).

      28. Si z = a + bi, entonces el conjugado complejo de z es = a − bi. El módulo de z es , probar lo siguiente:

      (i) z₁z₂ = z₂z₁.

      (ii) z₁(z₂z₃) = (z₁z₂)z₃.

      (iii) z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃.

      (iv)

      (v)

      (vi)

      (vii)

      (viii)

      (ix)

      29. Hallar las ráıces 8-ésimas de la unidad.