Базы данных: конспект лекций. Коллектив авторов

вывести самостоятельно.

      Итак:

      1) соотношение мощностей:

      а) для операции выборки: | σ<P>r |≤ |r|;

      б) для операции проекции: | r[S'] | ≤ |r|;

      в) для операции переименования: | ρ<φ>r | = |r|;

      Итого, мы видим, что для двух операторов, а именно для оператора выборки и оператора проекции, мощность исходных отношений – операндов больше, чем мощность отношений, получаемых из исходных применением соответствующих операций. Это происходит потому, что при выборе, сопутствующему действию этих двух операций выборки и проекции, происходит исключение некоторых строк или столбцов, не удовлетворивших условиям выбора. В том случае, когда условиям удовлетворяют все строки или столбцы, уменьшения мощности (т. е. количества кортежей) не происходит, поэтому в формулах неравенство нестрогое.

      В случае же операции переименования, мощность отношения не изменяется, за счет того, что при смене имен никакие кортежи из отношения не исключаются;

      2) свойство идемпотентности:

      а) для операции выборки: σ<P> σ<P>r = σ<P>;

      б) для операции проекции: r [S’] [S’] = r [S'];

      в) для операции переименования в общем случае свойство идемпотентности неприменимо.

      Это свойство означает, что двойное последовательное применение одного и того же оператора к какому-либо отношению равносильно его однократному применению.

      Для операции переименования атрибутов отношения, вообще говоря, это свойство может быть применено, но обязательно со специальными оговорками и условиями.

      Свойство идемпотентности очень часто используется для упрощения вида выражения и приведения его к более экономичному, актуальному виду.

      И последнее свойство, которое мы рассмотрим, – это свойство монотонности. Интересно заметить, что при любых условиях все три оператора монотонны;

      3) свойство монотонности:

      а) для операции выборки: r₁ ⊆ r₂ ⇒ σ<P> r₁ ⇒ σ <P>r₂;

      б) для операции проекции: r₁ ⊆ r₂ ⇒ r₁[S'] ⊆ r₂ [S'];

      в) для операции переименования: r₁ ⊆ r₂ ⇒ ρ<φ>r₁ ⊆ ρ <φ>r₂;

      Понятие монотонности в реляционной алгебре аналогично этому же понятию из алгебры обычной, общей. Поясним: если изначально отношения r₁ и r₂ были связаны между собой таким образом, что r ⊆ r₂, то и после применения любого их трех операторов выборки, проекции или переименования это соотношение сохранится.

      Лекция № 5. Реляционная алгебра. Бинарные операции

      1. Операции объединения, пересечения, разности

      У любых операций есть свои правила применимости, которые необходимо соблюдать, чтобы выражения и действия не теряли смысла. Бинарные теоретико-множественные операции объединения, пересечений и разности могут быть применены только к двум отношениям обязательно с одной и той же схемой отношения. Результатом таких бинарных операций будут являться отношения, состоящие из кортежей, удовлетворяющих условиям операций, но с такой