Метафизика опыта. Книга II. Позитивная наука. Шедворт Ходжсон

понимаются числовые результаты, которые получаются при умножении этого числа на само себя любое заданное число раз, например, 2 x 2 = 4; 4 x 2 = 8; 8 x 2 = 16 и так далее; где 4 – это вторая сила (или квадрат) 2, записываемая как 2²; 8 – это третья сила (или куб), записываемая как 2³; 16 – это четвертая сила, записываемая как 2⁴. Обратный этому процесс – извлечение корня. Он состоит в том, чтобы найти, какое число, умноженное определенное количество раз на само себя, даст то число, квадратный, кубический, четвертый, пятый и т. д. корень которого требуется. Но здесь возникает трудность, обусловленная, как обычно бывает в таких случаях, предположением, а именно предположением, что каждое данное число – это сила. Ибо, хотя нам нетрудно возвести любое данное число в любую заданную силу путем умножения, из этого отнюдь не следует, что мы можем довести до конца обратный процесс извлечения корня из любого данного числа. Это обязательно следует только в случае тех чисел, которые ранее были достигнуты прямым процессом. Мысль о том, что все данные числа являются производными от корней, а также просто числами, возникла в результате обобщения успешных примеров извлечения корней и, следовательно, ожидания успеха в тех случаях, когда в действительности можно получить лишь воображаемые результаты. То, что эти два процесса обратны друг другу по виду, не означает, что они одинаково применимы к любому данному числу.

      Поэтому во всех случаях извлечения корня, когда данное число, корень из которого требуется извлечь, не является заведомо целым, перед нами не простой процесс вычисления, а проблема, проблема, заключающаяся в том, чтобы найти, имеет ли данное число корень или нет. Из того, что в задаче предлагается найти корень из данного числа, не следует, что искомый корень может быть найден. Например, «число точных квадратов бесконечно; но в любых заданных пределах существует гораздо больше чисел, не имеющих точных квадратных корней, чем точных квадратов»9.

      А в алгебре, цитируя другого авторитета, «когда корень из алгебраической величины, которая требуется, не может быть точно получен, он называется иррациональным или перенасыщенным количеством. Таким образом, ∛a2 или a2/3 называется прибавочной величиной».10

      Переходя ко второй и, безусловно, наиболее обширной и важной ветви всей науки исчисления, а именно к алгебре, используя этот термин в самом широком смысле, мы находим первый параграф «Универсальной арифметики» Ньютона следующим образом:

      «Вычисления производятся либо с помощью чисел, как в обычной арифметике, либо с помощью символов с общим значением (видов), как это практикуется аналитиками. Каждый вид опирается на одни и те же основания и стремится к одной и той же цели; Арифметика – определенно и конкретно, Алгебра – неопределенно и универсально. Таким образом, в широком смысле все формулировки, используемые в алгебраических вычислениях, и особенно их выводы, можно назвать теоремами. Но главное

9

Arithmetic for the Use of Schools, By A, Sonnenschein and H. A. Nesbitt. London, 1870. Part III., p. 216.

10

Todhunter’s Algebra. Fifth Edition, 1870, p. 157.