Решаем задачи Python. Джеймс Девис

внутри квадрата, то вероятность попадания точки внутрь круга равна отношению площади круга к площади квадрата, то есть π/4. Зная это, мы можем использовать метод Монте-Карло для оценки числа π.

      Шаги решения:

      1. Создание квадрата со стороной 2 и вписанного в него круга с радиусом 1.

      2. Генерация случайных точек внутри квадрата.

      3. Подсчет количества точек, попавших внутрь круга.

      4. Оценка числа π как отношение числа точек, попавших внутрь круга, к общему числу сгенерированных точек, умноженное на 4.

      Чем больше точек мы используем, тем более точное приближение числа π мы получим.

      Пример кода на Python:

      ```python

      import random

      def monte_carlo_pi(num_points):

      points_inside_circle = 0

      total_points = num_points

      for _ in range(num_points):

      x = random.uniform(-1, 1)

      y = random.uniform(-1, 1)

      distance = x**2 + y**2

      if distance <= 1:

      points_inside_circle += 1

      pi_estimate = 4 * points_inside_circle / total_points

      return pi_estimate

      # Пример использования

      num_points = 1000000

      estimated_pi = monte_carlo_pi(num_points)

      print(f"Приближенное значение числа Пи с использованием {num_points} точек: {estimated_pi}")

      ```

      Этот код генерирует миллион случайных точек в квадрате и оценивает значение числа π с помощью метода Монте-Карло.

      Пояснения к каждой части кода:

      1. `import random`: Эта строка импортирует модуль `random`, который мы будем использовать для генерации случайных чисел.

      2. `def monte_carlo_pi(num_points)`: Это определение функции `monte_carlo_pi`, которая принимает один аргумент `num_points`, представляющий количество случайных точек, которые мы сгенерируем.

      3. `points_inside_circle = 0`: Эта переменная будет использоваться для отслеживания количества точек, попавших внутрь круга.

      4. `total_points = num_points`: Эта переменная хранит общее количество сгенерированных точек.

      5. `for _ in range(num_points):`: Этот цикл генерирует `num_points` случайных точек внутри квадрата.

      6. `x = random.uniform(-1, 1)` и `y = random.uniform(-1, 1)`: Эти строки генерируют случайные координаты `x` и `y` для каждой точки в диапазоне от -1 до 1, что соответствует координатам квадрата.

      7. `distance = x**2 + y**2`: Это вычисляет квадрат расстояния от начала координат до сгенерированной точки.

      8. `if distance <= 1:`: Этот оператор проверяет, попадает ли точка внутрь круга, используя тот факт, что расстояние от начала координат до точки меньше или равно радиусу круга (который равен 1).

      9. `points_inside_circle += 1`: Если точка попадает внутрь круга, увеличиваем счетчик точек внутри круга.

      10. `pi_estimate = 4 * points_inside_circle / total_points`: Эта строка оценивает значение числа π, умножая отношение точек внутри круга к общему числу точек на 4, так как отношение площади круга к площади квадрата равно π/4.

      11. `return pi_estimate`: Функция возвращает оценку числа π.

      12. `num_points = 1000000`: Это количество случайных точек, которые мы сгенерируем для оценки числа π.

      13. `estimated_pi = monte_carlo_pi(num_points)`: Эта строка вызывает функцию `monte_carlo_pi` с указанным количеством точек и сохраняет результат в переменной `estimated_pi`.

      14. `print(f"Приближенное значение числа Пи с использованием {num_points} точек: {estimated_pi}")`: Эта строка выводит приближенное значение числа π на экран вместе с количеством сгенерированных точек. Используется форматированная строка (f-string) для вставки значений переменных в текст.

2. Задача о нахождении площади круга: Приблизить площадь круга с радиусом 1 с помощью метода Монте-Карло.

      Описание задачи: Представим, что у нас есть круг с радиусом 1. Мы хотим приблизить его площадь, используя метод Монте-Карло. Для этого мы будем генерировать случайные точки внутри квадрата, описывающего этот круг, и считать, сколько из этих точек попадают внутрь круга.

      Идея решения: Если мы генерируем много точек внутри квадрата, описывающего круг, и считаем, сколько из них попадают внутрь круга, то отношение числа точек, попавших внутрь круга, к общему числу точек, умноженное на площадь квадрата, даст приближенное значение площади круга.

      Пример кода на Python:

      ```python

      import random

      def monte_carlo_circle_area(num_points):

      points_inside_circle = 0

      total_points = num_points

      for _ in range(num_points):

      x = random.uniform(-1, 1)

      y = random.uniform(-1, 1)

      distance = x**2 + y**2

      if distance <= 1:

      points_inside_circle += 1

      circle_area_estimate = points_inside_circle / total_points * 4

      return circle_area_estimate

      # Пример использования

      num_points = 1000000

      estimated_area = monte_carlo_circle_area(num_points)

      print(f"Приближенная площадь круга с использованием {num_points} точек: {estimated_area}")

      ```

      В этом примере мы используем тот же метод Монте-Карло, чтобы оценить площадь круга.