10 проблема Гильберта. Опровержение неразрешимости. Дмитрий Васильевич Паршаков

ее неразрешимости, доказанное советским математиком Ю.В.Матясевичем в 1970г.

      Доказательство неразрешимости Матиясевича признано как единственно допустимое, но возможно это не так.

      Итак, для того, чтобы опровергнуть, либо подтвердить это доказательство нужно вначале напомнить задачу, определенную Д.Гильбертом в 10-й проблеме.

      «Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах»

      То есть нужно найти некий алгоритм, при помощи которого возможно находить натуральные (целочисленные) значения для произвольных неизвестных.

      Самое известное уравнение Диофанта это формула Пифагора.

      a² +b²=c²

      Известны также так называемые «тройки Пифагора», целочисленные значения для неизвестных «a,b,c»

      3,4,5; 5,12,13; 7,24,25 и т.д. Эти тройки имеют два сходства: первое – квадрат первого (наименьшего) числа равен сумме двух других чисел, второе – разница между вторым и третьим числом равна 1. Следовательно, можно предположить, что это не случайные совпадения. Исходя из этого, составим равенства

      Теперь, используя все эти формулы, составим уравнения

      

      Подставим эти уравнения в формулу Пифагора

      

      

      Получилось равенство значений правой и левой сторон уравнения. Это можно считать доказательством существования алгоритма нахождения натуральных значений «пифагоровых троек». Но эти формулы диофантовы лишь для нечетных чисел, хотя при постановке в формулы четных чисел для «а» также можно найти значения двух других чисел «b,c», эти значения будут рациональными, но не целыми числами. Например «а»= 8