Метод конечных элементов. Дмитрий Альбертович Оголихин

унок 1. Разбиение конструкции на конечные элементы. а – нумерация конечных элементов; б – нумерация узлов.

      В качестве конечных элементов выступают знакомые нам из сопротивления материалов и строительной механики стержни, балки, плиты, оболочки и т. п. По сути своей решение методом конечных элементов сводится к решению уравнения задачи в динамической постановке:

      M∙d²u/dt²+C∙ du/dt+K∙u = P

      где M – матрица масс конструкции;

      C – матрица демпфирования конструкции;

      K – матрица жёсткости конструкции;

      d²u/dt² – вектор ускорений узлов конструкции;

      du/dt – вектор скоростей узлов конструкции;

      u – вектор перемещений узлов конструкции;

      P – вектор узловых нагрузок.

      Если вектор узловых сил P не меняется во времени, то задача сводится к статической, описываемой уравнением:

      K∙u = P

      Так как многие задачи в машиностроении сводятся к статическим, то упор в книге будет делаться на них. Для рассмотрения задач будет использоваться среда MathCad 15.

      Алгоритм МКЭ

      Для того, чтобы решить уравнение необходимо провести предварительную подготовку. В общем и целом, алгоритм решения выглядит следующим образом:

      1) Разбиение конструкции на конечные элементы;

      2) Составление матрицы жёсткости каждого конечного элемента;

      3) Перевод матрицы жёсткости из локальной системы координат в глобальную;

      4) Составление глобальной матрицы жёсткости всей конструкции;

      5) Приведение нагрузок к узловым;

      6) Учёт закреплений;

      7) Решение уравнения:

      u = K^-1∙P

      Операция 1, на взгляд автора, интуитивно понятная и не требует пояснений.

      Операции 2–6 будут подробно рассмотрены ниже.

      Операция 7 будут рассмотрена подробно в примерах.

      Составление матрицы жёсткости КЭ

      Матрица жёсткости связывает перемещения узлов с узловыми силами, как уже говорилось в введении. Размер матрицы жёсткости N определяется количеством узлов и степенью свободы для каждого узла по формуле:

      N = n∙d

      где N – размер матрицы жёсткости;

      n – количество узлов в элементе;

      d – количество степеней свободы элемента.

      Например, для стержневого (ферменного) элемента, имеющего n = 2 узла, который по определению может только растягиваться или сжиматься, количество степеней свободы d = 1. Таким образом, N = n∙d = 2∙1 = 2. Матрица жёсткости будет иметь вид:

      где K – матрица жёсткости;

      k₁₁, k₁₂, k₂₁, k₂₂ – элементы матрицы жёсткости.

      Для конечных элементов, у которых количество степеней свободы больше единицы удобней представлять матрицу жёсткости поблочно. Например, для конечного элемента, у которого количество узлов n = 2 и количество степеней свободы d = 3матрицу жёсткости удобно представлять в виде:

      где K – матрица жёсткости, размером [n×n]

      k₁₁, k₁₂, k₂₁, k₂₂ – элементы матрицы жёсткости, которые из себя так же представляют матрицы размером [d×d]:

      Такое представление матрицы жёсткости позволит легко и удобно получить матрицу жёсткости всей конструкции.

      Матрица жёсткости, обычно, составляется в локальной системе координат этого элемента. Для перевода матрицы жёсткости в глобальную систему координат используется матрица направляющих косинусов по формуле:

      K^глоб = Λ^T∙K∙Λ

      где K^глоб – матрица жёсткости в глобальной системе координат;

      Λ – матрица направляющих косинусов.

      Рассмотрим матрицы жёсткости типовых конечных элементов.

      Стержневой элемент

      На рисунке 2 показан стержневой конечный элемент.

      Рисунок 2. Стержневой конечный элемент

      На рисунке 2 xy – локальная система координат, а XY – глобальная.

      Стержневой конечный элемент имеет два узла и одну степень свободы. Матрица жёсткости в локальной системе координат вычисляется по формуле:

      где E – модуль упругости материла;

      F – площадь поперечного сечения стержня;

      L– длина конечного элемента.

      Матрица формы КЭ:

      где a – длина КЭ.

      Если рассматривается задача,