Операции над матрицами средствами MS Excel. Николай Петрович Морозов

dero

      Этой книгой я продолжаю курс практических занятий по Линейной алгебре, которые я проводил со студентами университета культуры и искусств в городе Санкт – Петербурге. но уже с широким применением приложения MS Ofice Excel.

      1.Определители матрицы

      1.1.Определители 2-го порядка

      Пусть дана квадратная таблица из следующих чисел:

      Матрица A

      Число A = а₁₁∙а₂₂ – а₁₂∙а₂₁ называется определителем 2-го порядка и соответствует приведенной выше матрице Этот определитель обозначается символом det A и вычисляется по следующему правилу:

      Правило вычисления определителя второго порядка.

      Числа а₁₁,а_22, а₁₂,а₂₁ являются элементами определителя. Говорят, что элементы а₁₁,а₂₂ лежат на главной диагонали определителя, а а₁₂,а₂₁ – на побочной.

      Таким образом определитель 2-го порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях.

      1.2.Определители 3-го порядка

      Рассмотрим таблицу из 9-ти элементов:

      Определитель 3-го порядка.

      Определителем 3-го порядка, соответствующим зтой таблице, называется число, равное:

      а₁₁∙а₂₂∙а₃₃ + а₂₁∙а₂₃∙а₃₁ + а₂₁∙а₃₂∙а₁₃ – а₁₃∙а₂₂∙а₃₁ – а₁₁∙а₃₂∙а₂₃ – а₂₁∙а₁₂∙а₃₃

      Этот определитель обозначается символом det:

      При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольника (правилом Саррюса):

      1.3.Свойства определителей

      1) Равноправность строк и столбцов: определитель не изменится, если его строки заменить столбцами или наоборот.

      Первое свойство определителя (2-го порядка).

      Первое свойство определителя (3-го порядка).

      2) При перестановке двух параллельных рядов, определитель меняет знак.

      Второе свойство определителя (3-го порядка).

      3) Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен 0

      Третье свойство определителя (3-го порядка).

      4) Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.

      Четвертое свойство определителя (3-го порядка).

      Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен 0

      Следствие из свойств 3 и 4.

      5) Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

      Пятое свойство определителя (3-го порядка).

      6) Элементарные преобразования определителя.

      Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число:

      Элементарные преобразования определителя (3го порядка)..

      Минором некоторого элемента а_ij определителя n-ого порядка называется определитель n-1 —ого порядка, полученный из исходного, путем вычеркивания i – строки, j – столбца

      Обозначается М_ij

      Минор элемента а_ij

      Минор элемента а₁₃

      Алгебраическим дополнением элемента А_ij определителя называется его минор (М_ij), взятый со знаком «+», если сумма i+j – четное число, «-» если i+j – нечетное число.